Namangan davlat universiteti matematik analiz kafedrasi

II bob bo‘yicha xulosalar
Bu bobda dissertatsiya mavzusiga oid ma’lumotlar keltirilgan. Xususan Abel integral tenglamasi keltirilgan va uning yechimi keltirib chiqarilib, ular asosida kasr tartibli integral va kasr tartibli hosila tushunchalari kiritilgan hamda ularning hossalari isbotlangan.
Ushbu bobda kasr tartibli oddiy differensial tushunchasi bayon qilingan. So‘ngra eng sodda kasr tartibli oddiy differensial tenglamaning yechimi ikki xil usulda topilgan.
Integral tenglamalar haqida umumiy ma’lumotlar berilgan. Fredgol’m va Vol’terra integral tenglamalar turlari ta’riflari keltirilgan. Integral tenglamalarni yechishga zarur teoremalar isbotlari bilan keltirilgan. Integral tenglamalarni yechish usullaridan ba’zilaridan foydalanib misollar yechib ko’rsatilgan.

III BOB. UMUMLASHGAN BOSHLANG’ICH SHARTLI MASALALAR VA UMUMLASHGAN KASR TARTIBLI TENGLAMALAR UCHUN KOSHI MASALASI
Ushbu bobda umumlashgan boshlang’ich shartli kasr tartibli differensial tenglamalar keltirilgan. Umumlashgan kasr tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi va umumlashgan Hilfer hosilasi qatnashgan diffuziya tenglamasi uchun boshlang’ich shartli chegaraviy masalalar bayon qilingan.

3.1 - §. Umumlashgan Xilfer kasr tartibli operator qatnashgan differensial tenglama uchun Koshi masalasi
Biz da
(3.1.1)
tenglamaning
(3.1.2)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasini tadqiq etamiz. Bu yerda - shunday haqiqiy sonlarki f(t) esa berilgan funksiya.

• 
  kasr tartibli, tipdagi umumlashgan Xilfer operatori [11],
  

- α kasr tartibli Riman-Liuvill integral operatori [11].
Quyidagi tasdiq o‘rinli:
1-teorema. Agar bo’lsa, u holda (3.1.1) - (3.1.2) masalaning yagona yechimi mavjud bo’ladi va u
(3.1.3)
ko’rinishida ifodalanadi.
Bu yerda

- ikki parametrli Mittag – Leffler funksiyasi. funksiyalar sinfi esa quyidagicha aniqlanadi [11]:

Isbot: (3.1.1) tenglamaning umumiy yechimi
(3.1.4)
ko’rinishda topiladi, bu yerda C – ixtiyoriy o’zgarmas son.
Avvalo, ifodani hisoblaymiz:
(3.1.5)
(3.1.5) ni olishda

formuladan foydalandik.
(3.1.5) ni (3.1.2) shartga qo’yib, shart asosida

ni bir qiymatli topamiz. (3.1.4) ga asosan esa tadqiq etilayotgan masalaning yechimi (3.1.3) ko’rinishda topilishi kelib chiqadi. Agar berilgan funksiya shartni qanoatlantirsa, (3.1.3) asosida bo’lishini ko’rsatish qiyin emas.