Namangan davlat universiteti matematik analiz kafedrasi

Kasr tartibli hosilalar.
Ta’rif__2.1.2. funksiya kesmada aniqlangan bo‘lsin.
(2.1.13)
(2.1.14)
ko‘rinishdagi ifodalar funksiyaning (kasr) tartibli (Liuvill ma’nosidagi) hosilalari deyiladi.
Bu ta’rifga asosan (2.1.1) va (2.1.5) Abel integral tenglamalari yechimlarini beruvchi (2.1.4) va (2.1.6) tengliklarni mos ravishda
(2.1.15)
ko‘rinishida yozish mumkin.
(2.1.13) va (2.1.14) kasr tartibli hosilalar mavjudligining yetarli sharti quyidagicha.
Lemma 2.1.1. Agar funksiya kesmada absolyut uzluksiz bo‘lsa, kesmaning deyarli barcha nuqtalarida funksiyaning kasr tartibli hosilalari mavjud bo‘lib, quyidagi formulalar o‘rinli bo‘ladi:


Endi bo‘lib, - uning butun qismi, - esa kasr qismi bo‘lsin. Agar - butun son bo‘lsa, tartibli hosilalar sifatida oddiy hosilalarni olamiz:

Agar - butun son bo‘lmasa, tartibli hosilalarni quyidagicha aniqlaymiz:


Demak, umumiy xolda, bo‘lganda
(2.1.16)
(2.1.17)
Odatda kasr tartibli integrallar ko‘rinishida ifodalanuvchi funksiyalar sinfini bilan belgilanadi, ya’ni

Quyidagi teorema o‘rinli.
Teorema 2.1.1. bo‘lsin. U holda
(2.1.18)
tengliklar barcha funksiyalar uchun,
(2.1.19)
tengliklar esa mos ravishda barcha

funksiyalar uchun bajariladi.
Agar oxirgi shartlar o‘rniga bo‘lsa, (2.1.19) tengliklar umuman olganda noto‘g‘ri bo‘ladi va, masalan, birinchisi quyidagi formula bilan almashadi [9].
(2.1.20)
bu yerda ,
Xususiy holda bo‘lsa,
(2.1.20)
bu yerda
Demak, Abel integral tenglamalarini va ularning yechimlarini ifodalovchi (2.1.10) va (2.1.15) tengliklar bilan aniqlangan va funksiyalarni mos ravishda (2.1.15) va (2.1.10) tengliklarga qo‘yish uchun yuqoridagi teorema shartlari bajarilishi zarur ekan.
Ushbu
(2.1.21)
tenglama ikkinchi tur Abel integral tenglamasi deyiladi. Ushbu (2.1.22) integral tenglamaning yechimi quyidagicha ifodalanadi [5] :
(2.1.22)
Odatda bu formula Xille – Tamarkin formulasi deb ataladi.