Namangan davlat universiteti matematik analiz kafedrasi

2.4. Fredgol’m integral tenglamalari.
Integral tenglamalar nazariyasi shu qadar rivojlanib, tenglamalarning turlari shu qadar ko‘payib ketdiki, ularga umumiy ta`rif berishning iloji bo‘lmay qoldi. Shunday bo‘lsa ham, integral tenglamaning ilgarilari qabul qilingan ta`rifini eslatib o‘tamiz. Ma`lumki, agar biror tenglamadagi noma`lum funksiya differensiallash ishorasi ostida bo‘lsa, bunday tenglama differensial tenglama deb yuritiladi. Integral tenglamaning ta`rifi ham shunga o‘xshaydi.
Ta’rif 2.4.1. Agar tenglamadagi noma`lum funksiya shu funksiyaning argumenti bo‘yicha olinadigan integral ishorasi ostida bo‘lsa, bunday tenglama integral tenglama deb ataladi.
Integral tenglamalarning turlari ko‘p, ulardan ba`zilari quyidagilardir.
Fredgol’m integral tenglamalari.
Ta’rif 2.4.2. Ushbu integral tenglama Fredgol’mning<sup>1</sup> birinchi tur tenglamasi deyiladi:
(2.4.1)
bu yerda noma`lum funksiya, ozod had va tenglamaning yadrosi –ma`lum funksiyalar, integrallash chegaralari va berilgan haqiqiy o‘zgarmas sonlardir.
Ta’rif 2.4.3. Fredgol’mning ikkinchi tur tenglamasi deb quyidagi tenglamani aytamiz:
(2.4.2)
Bu tenglamadagi noma`lum funksiya integral ishorasidan tashqarida ham ishtirok etmoqda. (2.4.1) va (2.4.2) dagi tenglamaning parametri deb ataladi.
Bu tenglamalardagi funksiya kesmada, yadro esa yopiq sohada berilgan deb hisoblanadi. Agar kesmada bo‘lsa, (2.4.2) tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi:
(2.4.3)
bunday tenglama bir jinsli intengral tenglama deyiladi.
Nihoyat,
Ta’rif 2.4.4. Ushbu
(2.4.4)
tenglama uchinchi tur integral tenglama deb ataladi.
Agar kesmada
a) bo‘lsa, undan (2.4.1) tenglama;
b) bo‘lsa, undan (2.4.2) tenglama kelib chiqadi.
Yuqorida biz tanishgan integral tenglamalarning barchasida noma`lum funksiya bir argumentlidir, ya`ni birgina erkli o‘zgaruvchining funksiyasidir. Misol uchun quyidagi integral tenglamani olaylik:

bunda

demak, bu tenglama Fredgol’mning ikkinchi tur tenglamalaridan ekan.
Integral tenglamada ishtirok etadigan noma`lum funksiya ikki argumentli bo‘lishi ham mumkin. U holda, masalan, ikkinchi tur tenglama quyidagicha yoziladi:
(2.4.5)
bu yerda -ozod had sohada, yadro esa sohada berilgan deb hisoblanadi; lar berilgan o‘zgarmas haqiqiy sonlardir. Ana shunday tenglamalarga misol sifatida quyidagi tenglamani ko‘rsatish mumkin:

umuman, integral tenglamadagi noma`lum funksiya ko‘p argumentli bo‘lishi ham mumkin, u holda Fredgol’m tenglamasidagi integral karrali bo‘ladi.
Integral tenglamalarni yechishning quyidagi usullari mavjud:

1. 
   Differensial tenglamalarga keltirib yechish;
   
2. 
   Aynigan yadroli integral tenglamalarni chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keltirib yechish;
   
3. 
   Aynigan yadroli integral tenglamalarni koeffisiyentlarni tenglash usuli bilan yechish;
   
4. 
   Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechish;
   
5. 
   Rezolventa usuli bilan yechish.
   

Fredgol’mning ikkinchi tur tenlamalarini quyidagi usul bilan yechish mumkin. Bu usul ketma-ket yaqinlashish usul yoki funktsional qator yordami bilan yechish usulidir.
Shunday qilib, ushbu
(2.4.6)
tenglama berilgan bo‘lib, bu erda ozod had kesmada noldan farqli uzluksiz funksiya; yadro sohada noldan farqli uzluksiz funksiya; lar esa o‘zgarmas haqiqiy sonlar deb faraz qilinadi
Berilgan (1.2.1) tenglamaning yechimi quyidagi qator shaklida izlaymiz:
(2.4.7)
bundagi lar noma`lum funksiyalardir. Ularni shunday tanlab olish kerakki, natijada (2.4.7) qator (2.4.6) integral tenglamaning yechimi bo‘lsin.
Ana shu maqsadda (2.4.7) ni tenglamaning yechimi deb hisoblab (2.4.6) tenglamaga qiyamiz:

biz (2.4.7) funktsional qatorni biror intervalda tekis yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz, shu sababli uni hadlab integrallash mumkin. Bu ayniyatning ikki tomonidagi bir xil darajali larning koeffitsientlari teng bo‘ladi, ya`ni


(2.4.8)
……………………

endi bu ifodalarni yuqoridan boshlab birin-ketin izidan keyingisiga qo‘yib chiqamiz, natijada quyidagi ifodalar hosil bo‘ladi:

(2.4.8’)

………………………………………………….

Mana shu ifodalar yordamida (2.4.7) qatorni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin.
(2.4.9)
Bu cheksiz qatorning umumiy hadi
(2.4.10)
bo‘ladi. Yuqorida keltirilgan shartlarga ko‘ra, kesmada , hamda sohada . Bu yerdagi o‘zgarmas haqiqiy sonlardir. Shunga asosan (2.4.10) dan ushbu
(2.4.11)
tengsizlik hosil bo‘ladi. Ma`lumki, o‘ng tomondagi ifoda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning, ya`ni yaqinlashuvchi qatorning umumiy hadi bo‘lishi uchun
(2.4.12)
bo‘lishi shart. Shundagina (2.4.9) qator intervalda absolyut va tekis yaqinlashuvchi qator bo‘ladi.
Biz hozircha (2.4.9) qator (2.4.6) tenglamaning yechimi ekanligini ko‘rsatdik. endi undan boshqa yechimi yo‘qligini ko‘rsatamiz. Buning uchun aksincha faraz qilamiz, ya`ni (2.4.6) tenglamaning yana bitta uzluksiz yechimi bor deb faraz qilamiz. U holda

Buni (2.4.6) dan ayiramiz:


deb belgilab olaylik. U holda yuqoridagi tenglikni
(2.4.13)
ko‘rinishda yozish mumkin. Ma`lum ayirma kesmada uzluksiz bo‘lgani uchun chegaralangan bo‘ladi, ya`ni

shunga asosan

Bundan foydalanib (2.4.13) tenglikdan quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz:

buni yana (2.4.13) ga qo‘yish natijasida

hosil bo‘ladi. Umuman shu jarayonni marta takrorlasak,
(2.4.14)
hosil bo‘ladi.

bo‘lgani uchun cheksizlikka intilganda, (2.4.14) ning o‘ng tomoni nolga intiladi. Shu sababli , ya`ni bo‘ladi.
Demak, ikkala yechim aslida bitta ekan.
Shunday qilib quyidagi teorema isbot qilindi.
2.4.1-Teorema Agar funksiya kesmada noldan farqli, uzluksiz, yadro sohada noldan farqli uzluksiz bo‘lib, ushbu

tengsizlik bajarilsa, u holda

tenglama kesmada absalyut va tekis yaqinlashuvchi (2.4.7) qatordan iborat faqat birgina yechimga ega bo‘ladi.
Misollar yechishda larning ifodalarini (2.4.8) formulalar yodamida topib, so‘ngra ularni (2.4.7) qatorga qo‘yib chiqish ishni osonlashtiradi.
Ta’rif 2.4.5.: Ushbu integral tenglama Fredgolmning 2-tur tenglamasi deyiladi:

Bunda – noma’lum funksiya integral ishorasidan tashqarida ham ishtirok etmoqda. (2.4.1) va (2.4.2) dagi tenglamaning parametri deyiladi.
Bu tenglamalardagi f(x) funksiya I( ) kesmada, K(x,y) yadro esa R( , ) yopiq sohada berilgan deb hisoblanadi.
Ta’rif 2.4.6: Fredgol’mning 2-tur tenglamasi berilgan bo‘lsin:
(2.4.15)
Agar bu tenglamada ishtirok etayotgan yadroni ushbu:
(2.4.16)
ko‘rinishida yozish mumkin bo‘lsa, bunday yadro aynigan yadro¹ deyiladi.
Fredgolmninig 2-tur integral tenglamasi aynigan yadroga ega bo‘lsin, ya’ni tenglama quyidagi ko‘rinishda berilgan bo‘lsin.
(2.4.17)
tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozib olishimiz mumkin:
(2.4.18)
bu yerda
(2.4.19)

• 
  noma’lum koeffisiyentlar.
  

larni shunday tanlaymizki, (2.4.18) formula bilan aniqlanadigan funksiya (2.4.17) integral tenglamaning yechimi bo‘lsin.
Shu maqsadda (2.4.18) ni etib (2.4.17)ga qo‘yamiz:

Bundan chiziqli bog‘liq bo‘lmagan funksiyalr uchun

yoki
, (2.4.20)
bu yerda
, (2.4.21)
Shunday qilib (2.4.17) integral tenglamaning yechimini topish (2.4.20) algebraik tenglamalar sistemasini yechishga keldi.
(2.4.17) ga mos bir jinsli tenglama:
(2.4.22)
uchun mos algebraik tenglamalar sistemasi quyidagicha bo‘ladi:
(2.4.23)
Sistemalar nazariyasida quyidagi matrisa fundamental rol o‘ynaydi:

Chiziqli algebra kursidan ma’lumki,
(2.4.24)
bo‘lsa, sistema yagona yechimga ega.
Ammo ga nisbatan n-tartibli ko‘phadni tashkil etadi. Shuning uchun (2.4.24) shart ning chekli sondagi: qiymatlari, ya’ni ko‘phaning nollari uchun bajarilmaydi. Bu sonlar K(x,y) yadroning xos sonlari deyiladi.
Shunday qilib, dan farqli har bir chekli lar uchun (2.4.20) sistema yagona yagona yechimga ega. (2.4.20) sistemaning yechimini (2.4.18) formulaning o‘ng tomoniga qo‘yib (2.4.15) integral tenglamaning yechimini olamiz. Shunday qilib quyidagi teorema isbotlandi:
Teorema 2.4.2. (Fredgolmning birinchi teoremasi): Agar son yadroning xos soni bo‘lmasa, u holda har qanday uzluksiz ozod had uchun (2.4.15) integral tenglama yechimga ega va bu yechim yagona.

(2.4.22) bir jinsli integral tenglmaga mos integral tenglama quyidagi ko‘rinishga ega:

(2.4.25)
Bu tenglamaga mos algebraik tenglamalar sistemasi quyidagicha bo‘ladi:
(2.4.26)
bu yerda
(2.4.27)
Agar va matrisaning rangi r ga teng bo‘lsa, u holda algebra kursidagi asosan, bir jinsli (2.4.23) sistema va unga mos (2.4.26) sistema n-r ta chiziqli bog‘liq bo‘lmagan yechimga ega:

, .
(2.4.23) va (2.4.26) sistemalarning yechimlarini:


,
formulalarning o‘ng tomoniga qo‘yib, bir jinsli (2.4.22) va (2.4.25) integral tenglamaning n-r ta chiziqli bog‘liq bo‘lmagan yechmlarini topamiz. Ya’ni quyidagi teorema isbot bo‘ldi:
Teorema 2.4.3. (Fredgolmning ikkinchi teoremasi): (2.4.15) integral tenglamaga mos (2.4.22) va unga o‘xshahsah (2.4.25) bir jinsli integral tenglamalar n-r ta chiziqli bog‘liq bo‘lmagan yechimga ega.
, funksiyalarga yadroning xos songa mos xos funksiyalari deyiladi.
da (2.4.20) sistema harqanday o‘ng tomon uchun yechimga ega emas. Bu sistema yechimga ega bo‘lishi uchun , sonlar quyidagi shartlarni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
. (2.4.28)
(2.4.28) shart (2.4.21) ga asosan quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli:
,
(2.4.29)
Shunday qilib, biz quyidagi xulosaga keldik:
Teorema 2.4.4.(Fredgolmning uchinchi teoremasi): da (2.4.15) integral tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun uning o‘ng tomonidagi ozod had f(x) funksiya (2.4.22) bir jinsli intergral tenglamaga o‘xshahsh (2.4.25) bir jinsli integral tenglamaning yechimlariga ortogonal bo‘lishi zarur va yetarli.