Namangan davlat universiteti matematik analiz kafedrasi

3.3-§. Umumlashgan kasr tartibli hosila qatnashgan differensial tenglama uchun Koshi masalasi

Quyidagi

(3.3.1)
tenglamaning
(3.3.2)
boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Bu yerda berilgan funksiya, lar esa berilgan haqiqiy sonlar,
(3.3.3)
– tartibli integro – diferensial operator [14], esa berilgan funksiya, esa berilgan funksiya.
Dastlab (3.3.1) tenglamani (3.3.3) ifodadan foydalanib quyidagicha yozib olamiz:

Endi bu ifodadagi integralda boʻlaklab integrallash formulasini ishlatamiz:

yoki
(3.3.4)
(3.3.4) ni tadqiq qilishni 2 holga ajratamiz:
1)
2)
Aytaylik, boʻlsin. U holda (3.3.4) dan

ni olamiz. Bu ifodani t boʻyicha bir marta differensiallasak,
(3.3.5)
kelib chiqadi. Agar desak, u holda (3.3.5) dan quyidagi ikkinchi tur Volterra integral tenglamasini olamiz [15]:
(3.3.6)
bu yerda
,
(3.3.7)
Umumiy nazariyaga koʻra [3], agar  ,  , yoki integrallanuvchi maxsuslikka ega boʻlsa, u holda (6) tenglama yagona yechimga ega boʻladi. Lekin bizga integrallanuvchi boʻlishini ta’minlaydigan shartlar kerak. Dastlab (3.1.6) tenglamaning yechimini rezolventa orqali yozib olamiz:
(3.3.8)
bu yerda funksiya yadroning resolventasi.
Endi (3.3.8) ga ko’ra boʻlishi uchun boʻlishining
shartligi kelib chiqadi. (3.3.7) ga koʻra, berilgan funksiya ga quyidagi shartlarni qoʻyishimiz zarur boʻladi:
(3.3.9)
Qayd etish kerakki, (3.3.7) dagi ifodaning oʻrniga (3.3.2) boshlangʻich shartga koʻra A ni qoʻyish mumkin.
Demak, quyidagi tasdiq oʻrinli:
2-teorema. Agar va uzluksiz yoki integrallanuvchi maxsuslikka ega boʻlsa, hamda (3.3.9) shart bajarilsa, u holda (3.3.1)-(3.3.2) masala yagona yechimga ega boʻladi va u (3.3.8) formula bilan aniqlanadi.
Endi holni koʻraylik. Bu holda (3.3.4) dan quyidagini olamiz:
(3.3.10)
bu yerda
(3.3.11)
Agar uzluksiz va uzluksiz yoki integrallanuvchi maxsuslikka ega boʻlsa, (3.3.10) ning yechimini rezolventa orqali yechish mumkin:
(3.3.12)
bu yerda funksiya teng rezolventa.
Ushbu hol uchun quyidagi tasdiq oʻrinli:
3-teorema. Agar , va uzluksiz yoki integrallanuvchi maxsuslikka ega boʻlsa, u holda (3.3.1)- (3.3.2) masala yagona yechimga ega va u 3.3.12) koʻrinishda ifodalanadi.