Namangan davlat universiteti matematik analiz kafedrasi

Tadqiqotda qo‘llanilgan metodikaning qisqacha tavsifi: Qo‘yilgan masalalarni tadqiq qilishda oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi va chegaraviy masalalar, beta, gamma funksiyalar va aralash tipdagi differensial tenglamalar, integral tenglamalar nazariyasidan keng foydalanilgan.
Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati: Ushbu magistrlik dissertatsiyasida olingan ilmiy natijalar asosan nazariy ahamiyatga ega. Lekin ulardan dissertatsiyada o‘rganilgan differensial tenglamalarga keltiriladigan fizik jarayonlarni tadqiq qilishda foydalanilishi mumkin [7].
Dissertatsiya tarkibining qisqacha tavsifi: Ushbu magistrlik dissertatsiyasi “Kasr tartibli differensial tenglamalar uchun boshlang’ich masalalar” mavzusiga bag‘ishlangan bo‘lib, kirish qismi, uchta bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.

I BOB. YORDAMCHI MA’LUMOTLAR

Ushbu bobning asosiy qismidagi ma’lumotlar [8] adabiyotdan olingan bo’lib keying boblarda undan foydalanilgan.

1.1-§. Birinchi tur Eyler integrali (beta-funksiya).

Beta - funksiya ushbu
(1.1.1)
tenglik bilan aniqlanadi. Bu tenglikning o‘ng tomonidagi integral Eylerning birinchi tur integrali deyiladi.
Ko‘rsatish qiyin emaski, va bo‘lganda (1.1.1) integral yaqinlashuvchi, agar va parametrlarning birortasi nolga teng yoki noldan kichik bo‘lsa, uzoqlashuvchi bo‘ladi.
(1.1.1) integralda almashtirish bajarib,

tenglikni hosil qilamiz. Demak, beta-funksiya o‘zining va argumentlariga nisbatan simmetrik funksiya ekan.
Endi (1.1.1) integralni bo‘laklab integrallaymiz. Bo‘laklab integrallash amallarini

kabi bajarib va ushbu ayniyatni e’tiborga olsak, da quyidagiga ega bo‘lamiz:


Bundan ushbu rekurrent formula kelib chiqadi:
(1.1.2)
Beta-funksiya va ga nisbatan simmetrik bo‘lgani uchun
(1.1.3)
(8) va (9) formulalarga asosan

Agar desak, u holda

Agar parametr butun songa teng bO‘lsa, ya’ni bo‘lsa, funksiyaga (1.1.2) formulani ketma-ket qo‘llash natijasida

tenglikka ega bo‘lamiz. Ammo

bo‘lgani uchun

Agarda parametr ham butun songa teng bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, (1.1.3) formulani ketma-ket qo‘llash natijasida quyidagi tenglikni hosil qilamiz:



bundan, bo‘lgani uchun

Endi (1.1.1) formulada desak,

yoki

Oxirgi integralda almashtirish bajaramiz. U holda

yoki
(1.1.4)
(1.1) integralda

almashtirishni bajarsak, beta-funksiya quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
(1.1.5)
Bu formulada hisoblab, desak,

hosil qilingan integral matematik analizda Eyler ismi bilan bog‘langan integral bo‘lib, uning qiymati ga tengdir. Shunday qilib, da
(1.1.6)
Agar xususiy holda, desak,

hosil bo‘ladi.