1.5-§. Mittag - Leffler tipidagi funksiyalar va ularning xossalari. Ikki parametrli Mittag – Leffler funksiyasining qator ko’rinishdagi ifodasi quyidagicha [10]:
(1.5.1)
Bu funksiya klassik Mittag – Leffler funksiyasining umumlashtiradi ya’ni da
(1.1.3) funksiya tartibli, tipdagi butun fuksiyadir. Bu funksiya elementar funksiyalarni ham umumlashtiradi.
Xususan,
Ushbu funksiyaga oid quyidagi rekkurent formulalar o’rinli:
Differensiallashga oid quyidagi formulalarni ham qayd etib o’tish kerak:
Agar bo’lsa, quyidagi munosabatlar o’rinli:
Bundan tashqari, bu funksiyaning turli integrallariga oid munosabatlarni ham takidlash kerak:
Bu funksiyaga kasr tartibli integral va integro – differensial operatorlarni ta’sir qildirish natijasida quyidagi formulalar kelib chiqadi.
I bobning xulosasi Ushbu dissertatsiyaning 1-bobida dissertatsiya uchun kerakli bo‘ladigan yordamchi ma’lumotlar keltirilgan bo’lib xususan birinchi tur Eyler integrallari(beta-funksiya), ikkinchi tur Eyler integrallari(gamma-funksiya) va beta va gamma funksiyalar va ularning asosiy xossalari haqida tushunchalar berilgan.
Xususan, bob davomida Riman – Luivill kasr tartibli hosilasi unga mos kasr tartibli integrallar uchun chap teskari operator sifatida foydalanilgan.
Bobning keying paragraflarida Riman – Luivill kasr tartibli integral va hosilalari, Riman-Liuvill va Kaputo hosilalari orasidagi munosabat haqida ma’lumotlar berilgan bo’lib bu ma’lumotlardan dissertatsiyaning keying boblarida keng foydalaniladi.
II BOB. Kasr tartibli hosilalar va integrallar. 2.1-§. Kasr tartibli hosilalar va integrallar. Abel integral tenglamasi. Ushbu
(2.1.1)
ko‘rinishdagi integral tenglama birinchi tur Abel integral tenglamasi deyiladi.
