Nomanfiy butun sonlar to’plamida bulinish munosabatining ta’rifi va xossalari. Reja

Muammo: Bo`linish alomati deganda nimani tushunasiz?
(4 bo`linish alomat)
1) O‘nli sanoq sistemasida 2 ga bo‘linish alomatini keltirib chiqaramiz. Buning uchun x sonining 10 lik saroq sistemasidagi yozuvchini ko‘rib chiqamiz:

x = x_n∙10ⁿ + x_n-1∙10^n-1 +…+ x₁∙10+x₀ 10 soni 2 ga bo‘lingani uchun 10,10²,…,10ⁿ ko‘rinishidagi sonlarning hammasi 2 ga bo‘linadi. Bo‘linish haqidagi 2- va 4- teoremalarga ko‘ra u = x_n∙10ⁿ + x_n-1∙10^n-1 +…+ x₁∙10 yig‘indi 2 ga bo‘linadi. x soni 2 bo‘linadigan u soni va x₀ yigindisidan iborat. Demak, x soni 2 ga faqat x₀ 2 ga bo‘linsagina bo‘linadi. x₀ sonning oxirgi raqami va u 0, 2, 4, 6, 8 ga teng bo‘lsagina 2 ga bo‘linadi. Bu raqamlar juft raqamlar deyiladi.
2 ga bo‘linish alomati: Son 2 ga uning o‘n lik yozuvi juft raqam bilan tugasa va faqat shu holdagina bo‘linadi.
5 ga 10 ga bo‘linish alomatlari ham shu kabi –keltirib chiqariladi.
5 ga bo‘linish alomati: Son 5 ga bo‘linishi uchun uning yozuvi 0 yoki 5 raqami bilan tugashi zarur va etarli.
10 ga bo‘linish alomati: Sonning yozuvi 0 raqami bilan tugasa va faqat shu holdagina u 10 ga bo‘linadi.
2) 4 ga va 25 ga bo‘linish alomatlari bir -biriga o‘xshash. Bu alomatlarni keltirib chiqarish uchun 100 = 4–25 ekanligini hisobga olish etarli. 100 soni 4 ga ham, 25 ga ham bo‘linadi, Demak, 10ⁿ(p ≥ 2) ko‘rinishidagi hamma sonlar 4 ga ham 25 ga ham bo‘linadi. Demak x = x_n∙10ⁿ + x_n-1∙10^n-1 +…+ x₁∙10 son yozuvidagi z = x_n∙10ⁿ + x_n-1∙10^n-1 +…+ x₂∙10²+ x₁∙10 qo‘sxiluvchi 4 ga va 25 ga bo‘linadi. x soning 4 ga va 25 ga bo‘linishi x₁•10 + x₀ yig‘indiga bogliq ekan.
4 ga bo‘linish alomati: x sonning oxirgi 2 raqami hosil qilgan 2 xonali son 4 ga bo‘linsa, va faqat shu holdagina x soni 4 ga bo‘linadi.
25 ga bo‘linish alomati: x soni 25 ga bo‘linishi uchun uning o‘n lik yozuvi 00, 25, 50 yoki 75 bilan tutashi zarur va etarli.
3) 3 va a ga bo‘linish alomatlarini keltirib chyqarish uchun barcha 10ⁿ –1 ko‘rinishidagi sonlar 9 ga bo‘linishini ko‘rsatamiz.
10ⁿ-1=910^n-1+…+910=9 (10^n-1+…+10+1)=9 . Bu ko‘paytma albatta 9 ga va bo‘linishning tranzitivligiga asosan 9:3 bo‘lgani uchun, 3 ga ham bo‘linadi.
x = x_n∙10ⁿ + x_n-1∙10^n-1 +…+ x₂∙10²+ x₁∙10+ x₀
x = x_n∙(10ⁿ-1) + x_n-1∙(10^n-1 -1)+…+ x₂∙(10²-1)+ x₁∙(10-1)+ x_n + x_n-1 +…+ x₂+ x₀
sonni ko‘rinishida yozish mumkin, 10ⁿ –1 ko‘rinishidagi barcha sonlar 9 ga va 3 ga bo‘lingani uchun x_n∙(10ⁿ-1) + ... + x₁∙(10-1) yig‘indi ham 9 ga va 3 ga bo‘linadi x soni 9 ga yoki 3 ga x_n+... + x₁ yig‘indi 9 ga yoki 3 ga bo‘lingan holda bo‘linadi. Bu esa, sonning raqamlari yig‘indisidir. 3 ga (9 ga) bo‘linish alomati:
Son 3 ga (9 ga) bo‘linishi uchun uning raqamlari yigindisi 3 t (9 ga) bo‘linishi zarur va etarli.