Nyuton – Leybnis düsturu

Nyuton – Leybnis düsturu

Müəyyən inteqralda funksiyanın inteqralı həmin funksiya üçün düzəldilmiş inteqral cəminin limitidir. Lakin müəyyən inteqralı bu üsulla hesablamaq əlverişli deyil. Bu üsulla inteqralları hesabladıqda çox zaman mürəkkəb cəmlərin limitini tapmaq lazım gəlir. Məlumdur ki, hətta sadə funksiyaların inteqral cəminin limitini hesablamaq bəzən böyük texniki çətinliklərə səbəb olur.

Əgər inteqralaltı funksiyanın ibtidai funksiyası məlum olarsa , bu zaman müəyyən inteqralı hesablamaq üçün çox əlverişli bir düstur məlumdur. Bu düstur Nyuton- Leybnis düsturudur.

Teorem. parçasında kəsilməyən f(x) funksiyasının ibtidai funksiyalarından biri F(x) funksiyasıdırsa, onda

= F(b) – F(a) (1).

Düsturu doğrudur və bu düstura Nyuton – Leybnis düsturu deyilir.

Beləliklə , f(x) funksiyasının parçası üzrə müəyyən inteqralı onun hər hansı ibtidai funksiyasının parçasında artımına bərabərdir.

Müəyyən inteqralın aşağı və yuxarı sərhədlərinin qiyməti eyni olarsa , müəyyən inteqral sıfıra bərabər olur :

= 0.

Teoremin isbatı. Şərtə görə F(x) funksiyası parçasında kəsilməyən f(x) funksiyasının ibtidai funksiyalarından biridir. Onda,

F(x) = (2)

funksiyası da həmin funksiyanın ibtidai funksiyasıdır. İbtidai funksiyalar bir – birindən sabit ədədlə fərqlənə bilər. Ona görə də ,

F(x) = (x) + C

Münasibəti doğrudur. (2) ifadəsini sonuncu bərabərlikdə yerinə yazsaq, alarıq ki,

= φ(x) + C (3).

Burada x = a götürsək onda ,

= φ(a) + C.

Alınan bu bərabərliyin sol tərəfi müəyyən inteqralın tərifinə görə sıfıra bərabər olduğundan ,

0 = φ(a) + C və C = -φ(a)

Olması alınır . Sabit ədəd üçün tapdığımız bu ifadəni (3) bərabərliyində yerinə yazaq. Onda

= φ(x) – φ(a)

Olduğunu alarıq. Yenidən burada x=b götürək.

Bu zaman = φ(x) – φ(a) olduğunu alarıq.

Qeyd edək ki , müəyyən inteqral üçün

= = ...

olduğundan aldığımız sonuncu bərabərlik elə (1) bərabərliyinin özüdür. Teorem isbat olundu.

Misal1. = inteqralını hesablayın və əhatə etdiyi sahəni göstərin .

Həlli. = 3 dx = 3* ⁴|₁ = 3* ( – 1 ) = 2*7= 14.

Çəkdiyimiz fiqurun sahə vahidi 14 ə bərabərdir.

y

y = 3



^{1 4} x

Misal 2. – cosx )dx inteqralını Nyuton – Leybnis düsturu vasitəsilə hesablayın.

Həlli. sinx ( , ) aralığında müsbət qiymət alır.

– cosx )dx = = - ( cos - cos ) – ( sin - sin ) = - (-1-0)-(0-1) = 1+1=2.

Deməli, inteqralın əhatə etdiyi sahə 2 yə bərabərdir.

y

x

Misal 3. dx inteqralını həll edin və onun əhatə etdiyi sahəni tapın.

Həlli. Burada f(x) = |x - 1| a = 0 və b = 3. Sərhədləri verilən misalda yerinə yazsaq, f(x) = |0 - 1|= 1 və f(x) = |3 - 1|= 2 qiymətlərini alarıq. Aldığımız qiymətləri funksiyada qeyd edək.x 1 olduqda |x - 1| = x – 1 . x 1 olduqda, | x - 1| = 1 – x olur. Qrafiki çəkək.

y



2

1 y=f(x)

0 1 3 x

Qrafiki çəkdik. İnteqral həmin qrafikin altında qalan sahəyə bərabər olduğundan, dx = S = S₁ + S₂ . Sahələrin hər biri düzbucaqlı üçbucaq olduğundan , katetləri hasilinin yarısını hesablamaq kifayət edir.

dx = S = S₁ + S₂ = * 1* 1 + * 2 * 2 = 2,5.

Deməli, inteqralın əhatə etdiyi sahə 2,5 qiymətini alır.

Ədəbiyyat .

1. 
   Riyaziyyat . Dərslik 11 - ci sinif. Qəhrəmanova N və.b . radius 2018.
   
2. 
   Ali riyaziyyat . Dərs vəsaiti 1 – ci hissə Namazov Q M . Bakı 2012.
   
3. 
   Riyazi analizdən məsələ və misallar. Dərs vəsaiti Demidoviç B P 14 – cü nəşrdən tərcümə. Bakı 2008.