Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning hossalari. Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning kombinatorika masalalarini yechishga tatbiqi

NYUTON BINOMI.BINOMIAL KOEFFIETSIENTLARNING HOSSALARI.HOSIL QILUVCHI FUNKSIYALAR VA ULARNING KOMBINATORIKA MASALALARINI YECHISHGA TATBIQI
Reja. .

1. 
   Binomial koeffitsientlarni shakllantirish
   
2. 
   Binomial koeffitsientlar qiymatini hisoblash
   
3. 
   Multiplikatsion formula
   
4. 
   Faktorial formulalar
   

Binomial koeffitsientlarni shakllantirish uchun tartibga solish mumkin Paskal uchburchagi, unda har bir yozuv yuqoridagi ikkitaning yig'indisi.

Ikkinchi kuchga qadar binomial kengayishni vizualizatsiya qilish
Yilda matematika, binomial koeffitsientlar ijobiydir butun sonlar kabi sodir bo'ladi koeffitsientlar ichida binomiya teoremasi. Odatda binomial koeffitsient butun juftlik bilan indekslanadi n ≥ k ≥ 0 va yozilgan Bu koeffitsient xk muddat polinom kengayishi ning binomial kuch (1 + x)n, va u formula bilan berilgan
Masalan, ning to'rtinchi kuchi 1 + x bu
va binomial koeffitsient ning koeffitsienti x2 muddat.
Raqamlarni tartibga solish uchun ketma-ket qatorlarda deb nomlangan uchburchak qatorni beradi Paskal uchburchagi, qoniqarli takrorlanish munosabati
Binomial koeffitsientlar matematikaning ko'plab sohalarida va ayniqsa, uchraydi kombinatorika. Belgisi odatda "deb o'qiladin tanlang k"chunki bor (tartibsiz) kichik to'plamni tanlash usullari k sobit to'plamidan elementlar n elementlar. Masalan, bor dan 2 ta elementni tanlash usullari ya'ni va
Binomial koeffitsientlarni umumlashtirish mumkin har qanday murakkab raqam uchun z va tamsayı k ≥ 0, va ularning ko'plab xususiyatlari ushbu umumiy shaklda saqlanib qolishda davom etmoqda.
Andreas fon Ettingshausen notani kiritdi 1826 yilda,[1] raqamlar bir necha asrlar ilgari ma'lum bo'lgan bo'lsa-da (qarang Paskal uchburchagi). Binomial koeffitsientlarning eng qadimgi batafsil muhokamasi X asr sharhida Halayudha, qadimiy Sanskritcha matn, Pingala"s Chandḥśāstra. Taxminan 1150 yilda hind matematikasi Bxaskaracharya o'z kitobida binomial koeffitsientlar ekspozitsiyasini bergan Livatī.[2]

Shu bilan bir qatorda yozuvlar kiradi C(n, k), nCk, nCk, Ckn, Cnkva Cn,k bularning barchasida C degan ma'noni anglatadi kombinatsiyalar yoki tanlov. Ko'pgina kalkulyatorlarda C yozuv chunki ular uni bitta qatorli displeyda namoyish etishlari mumkin. Ushbu shaklda binomial koeffitsientlar osongina taqqoslanadi k- ning o'zgarishi nsifatida yozilgan P(n, k), va boshqalar

Uchun natural sonlar (0 qo'shilishi uchun olingan) n va k, binomial koeffitsient deb belgilash mumkin koeffitsient ning monomial Xk ning kengayishida (1 + X)n. Xuddi shu koeffitsient ham paydo bo'ladi (agar k ≤ n) ichida binomiya formulasi
(har qanday element uchun amal qiladi x, y a komutativ uzuk), bu "binomial koeffitsient" nomini tushuntiradi.

Ushbu raqamning yana bir paydo bo'lishi kombinatorikada bo'lib, u tartibni inobatga olmasdan yo'llarning sonini beradi k ob'ektlar orasidan tanlanishi mumkin n ob'ektlar; rasmiy ravishda, soni k-element pastki to'plamlari (yoki k-kombinatsiyalar) ning n- elementlar to'plami. Ushbu raqamni hisoblash uchun quyidagi formulalardan mustaqil ravishda, birinchi ta'riflardan biriga teng deb qarash mumkin: agar har birida n kuch omillari (1 + X)n biri vaqtincha vaqtni belgilaydi X indeks bilan men (1dan boshlab ishlaydi n), keyin har bir kichik to'plam k indekslar kengayishdan keyin o'z hissasini qo'shadi Xkva natijada ushbu monomialning koeffitsienti bunday kichik to'plamlarning soni bo'ladi. Bu, ayniqsa, buni ko'rsatadi har qanday natural sonlar uchun natural son n va k. Binomial koeffitsientlarning ko'plab boshqa kombinatsion talqinlari mavjud (masalan, javob binomial koeffitsient ifodasi bilan berilgan muammolarni hisoblash), masalan, hosil bo'lgan so'zlar soni n bitlar (0 yoki 1 raqamlari), ularning yig'indisi k tomonidan berilgan , yozish usullari soni qaerda har biri amen manfiy bo'lmagan butun son tomonidan berilgan . Ushbu talqinlarning aksariyati hisoblashga teng ekanligi osongina ko'rinadi k-birlashmalar.

Binomial koeffitsientlar
Qiymatini hisoblash uchun bir necha usul mavjud aslida binomial quvvatni kengaytirmasdan yoki hisoblamasdan k-birlashmalar.

Formula {1, 2, 3, ..., to'plamni ko'rib chiqishdan kelib chiqadi n} va alohida hisoblash (a) the k- ma'lum bir elementni o'z ichiga olgan element guruhlari, aytaylik "men", har bir guruhda (beri"men"allaqachon har bir guruhda bitta joyni to'ldirish uchun tanlangan, biz faqat tanlashimiz kerak k - qolganlardan 1 ta n - 1) va (b) barcha k"o'z ichiga olmaydigan guruhlar"men"; bu mumkin bo'lgan barcha narsalarni sanab beradi k-birlashmalari n elementlar. Shuningdek, bu hissalarni kuzatib borishdan kelib chiqadi Xk yilda (1 + X)n−1(1 + X). Nol bo'lgani kabi Xn+1 yoki X−1 yilda (1 + X)n, ta'rifni qo'shish uchun yuqoridagi chegaralardan tashqariga chiqarishi mumkin = 0 bo'lganda ham k > n yoki k <0. Keyinchalik bu rekursiv formulaning tuzilishiga imkon beradi Paskal uchburchagi, nollar yoki ahamiyatsiz koeffitsientlar bo'ladigan oq bo'shliqlar bilan o'ralgan.