Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning hossalari. Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning kombinatorika masalalarini yechishga tatbiqi

Multiplikatsion formula
Ayrim binomial koeffitsientlarni hisoblashning yanada samarali usuli formulada keltirilgan

bu erda birinchi kasrning numeratori a sifatida ifodalanadi tushayotgan faktorial kuchBinomiy koeffitsientlarning kombinatorial talqini uchun ushbu formulani eng oson anglash mumkin. Nomerator ketma-ketlikni tanlash yo'llarini beradi k to'plamidan tanlash tartibini saqlab qolgan alohida ob'ektlar n ob'ektlar. Mahrum qiluvchi bir xil aniqlaydigan aniq ketma-ketliklar sonini hisoblaydi k-tartibga e'tibor berilmaganda kombinatsiya.

Binomial koeffitsientning nisbatan simmetriyasi tufayli k va n − k, mahsulotning yuqori chegarasini yuqorisidan kichikiga o'rnatish orqali hisoblash optimallashtirilishi mumkin k va n − k.

Faktorial formulalar
Va nihoyat, hisoblash uchun yaroqsiz bo'lsa-da, ko'pincha dalillarda va chiqindilarda ishlatiladigan ixcham shakl mavjud, bu tanishlardan takroriy foydalanishni ta'minlaydi faktorial funktsiyasi:

qayerda n! ning faktorialligini bildiradi n. Ushbu formula yuqoridagi multiplikativ formuladan numerator va maxrajni ko'paytirish orqali kelib chiqadi (n − k)!; Natijada u raqamlovchi va maxrajga xos bo'lgan ko'plab omillarni o'z ichiga oladi. Bu aniq hisoblash uchun kamroq amaliy (agar shunday bo'lsa) k kichik va n katta), umumiy omillar bekor qilinmasa (xususan, faktorial qiymatlar juda tez o'sib borishi sababli). Formulada multiplikativ formuladan unchalik aniq bo'lmagan simmetriya mavjud (garchi bu ta'riflardan bo'lsa ham)

bu yanada samarali multiplikativ hisoblash tartibiga olib keladi. Dan foydalanish tushayotgan faktorial yozuvlar,
Umumlashtirish va binomial qatorga ulanish
Multiplikatsion formula binomial koeffitsientlarning ta'rifini kengaytirishga imkon beradi[3] almashtirish bilan n o'zboshimchalik bilan raqam bilan a (salbiy, haqiqiy, murakkab) yoki hatto har qanday element komutativ uzuk unda barcha musbat tamsayılar teskari bo'ladi:
Ushbu ta'rif bilan binomial formulaning umumlashtirilishi mavjud (o'zgaruvchilardan biri 1 ga o'rnatilgan bo'lsa), bu hali ham binomial koeffitsientlar:
Ushbu formula barcha murakkab sonlar uchun amal qiladi a va X bilan |X| <1. Shuningdek, uni identifikator sifatida talqin qilish mumkin rasmiy quvvat seriyalari yilda X, bu erda u haqiqatan ham doimiy koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan quvvat seriyasining ixtiyoriy kuchlarini ta'riflashi mumkin; Gap shundaki, ushbu ta'rif bilan biz kutgan barcha identifikatorlar mavjud eksponentatsiya, ayniqsa
Agar a manfiy bo'lmagan butun son n, keyin barcha shartlar k > n nolga teng, va cheksiz qator cheklangan yig'indiga aylanadi va shu bilan binomial formulani tiklaydi. Biroq, ning boshqa qiymatlari uchun amanfiy tamsayılar va ratsional sonlarni o'z ichiga olgan qator haqiqatan ham cheksizdir.
Paskal uchburchagining vertikal holda joylashtirilgan 1000-qatori, koeffitsientlarning o'nli raqamlari kulrang ko'lamda tasvirlangan, o'ng tomonga yo'naltirilgan. Rasmning chap chegarasi taxminan binomial koeffitsientlar logarifmasi grafigiga to'g'ri keladi va ularning hosil bo'lishini aks ettiradi log-konkav ketma-ketligi.
Asosiy maqolalar: Paskal uchburchagi va Paskalning qoidasi
Paskalning qoidasi bu muhim takrorlanish munosabati
tomonidan isbotlash uchun ishlatilishi mumkin matematik induksiya bu butun son uchun natural son n ≥ 0 va butun son k, darhol aniq bo'lmagan haqiqat formula (1). Paskal uchburchagining chap va o'ng tomonidagi yozuvlar (bo'shliqlar shaklida ko'rsatilgan) barchasi nolga teng.

Paskalning qoidasi ham sabab bo'ladi Paskal uchburchagi:

0: 1
1: 1 1
2: 1 2 1
3: 1 3 3 1
4: 1 4 6 4 1
5: 1 5 10 10 5 1
6: 1 6 15 20 15 6 1
7: 1 7 21 35 35 21 7 1
8: 1 8 28 56 70 56 28 8 1 
Qator raqami n raqamlarni o'z ichiga oladi uchun k = 0, ..., n. Dastlab 1-ni eng tashqi holatiga qo'yib, so'ngra har bir ichki pozitsiyani to'g'ridan-to'g'ri yuqoridagi ikkita sonning yig'indisi bilan to'ldirish orqali quriladi. Ushbu usul binomial koeffitsientlarni fraksiyalar yoki ko'paytmalarga ehtiyoj sezmasdan tezda hisoblash imkonini beradi. Masalan, uchburchakning 5-qatoriga qarab, buni tezda o'qish mumkin
Binomial koeffitsientlar muhim ahamiyatga ega kombinatorika, chunki ular tez-tez hisoblashning muayyan muammolari uchun tayyor formulalarni taqdim etadi:

Lar bor tanlash usullari k to'plamidan elementlar n elementlar. Qarang Kombinatsiya.

Lar bor tanlash usullari k to'plamidan elementlar n takrorlashga ruxsat berilsa, elementlar. Qarang Multiset.
Lar bor torlar o'z ichiga olgan k birlari va n nollar.
Lar bor dan iborat torlar k birlari va n ikkitasi qo'shni bo'lmasligi uchun nollar.[4]
The Kataloniya raqamlari bor
The binomial taqsimot yilda statistika bu
Binomial koeffitsientlar polinomlar sifatida
Har qanday salbiy bo'lmagan butun son uchun k, ifoda soddalashtirilishi va bo'linadigan polinom sifatida belgilanishi mumkin k!:
bu taqdim etadi a polinom yilda t bilan oqilona koeffitsientlar.
Shunday qilib, uni har qanday haqiqiy yoki murakkab sonda baholash mumkin t binomial koeffitsientlarni bunday birinchi argumentlar bilan aniqlash. Ushbu "umumlashtirilgan binomial koeffitsientlar" Nyutonning umumlashtirilgan binomial teoremasi.

Har biriga k, polinom noyob daraja sifatida tavsiflanishi mumkin k polinom p(t) qoniqarli p(0) = p(1) = ... = p(k - 1) = 0 va p(k) = 1.

Uning koeffitsientlari jihatidan ifodalanadi Birinchi turdagi raqamlar:
Binomial koeffitsientlar polinomlar makonining asosi sifatida
Har qanday narsadan ham ko'proq maydon ning xarakterli 0 (ya'ni o'z ichiga olgan har qanday maydon ratsional sonlar), har bir polinom p(t) eng ko'p daraja d chiziqli birikma sifatida noyob tarzda ifodalanadi