Oddiy differensial tenglamalar orqali ifodalanuvchi ayrim fizik va geometrik masalalar

Oddiy differensial tenglamalar orqali ifodalanuvchi ayrim fizik va geometrik masalalar.

Ma′lumki tabiatda uchraydigan turli jarayonlar fizik, kimyoviy, biologik, iqtisodiy va boshqa masalalar o′z qonuniyatiga ega. Bu qonuniyatlarni yechishda bizga differensial tenglamalar yordam beradi. Tabiiy jarayonlarni ifodalovchi masalalarni hal etishda ko′pincha differensial tenglamalarga murojaat etamiz. Masalalarni differensial tenglamalar orqali hal etish nisbatan aniq javobga olib keladi. Bu mavzu ilmiy va amaliy jihatdan dolzarb hisoblanadi.

Tabiatda uchraydigan turli jarayonlar o′z harakat qonunlariga ega. Ba′zi jarayonlar bir xil qonun bo′yicha sodir bo′lishi mumkin, bu hol esa ularni o′rganish ishini yengillashtiradi. Ammo jarayonlarni tavsiflaydigan qonunlarni to′g′ridan- to′g′ri topish har doim ham mumkin bo′lavermaydi. Xarakterli miqdorlar va ularning hosilalari yoki differensiallari orasidagi munosabatni topish tabiatan yengil bo′ladi. Bunda noma′lum funksiya yoki vektor-funksiya hosila yoki differensial ishorasi ostida qatnashgan munosabat hosil bo′ladi.

Oddiy differensial tenglamalar orqali ifodalanuvchi ayrim fizik masalalar.

№1. 20 l hajmga ega bo’lgan bo’lgan idishda havoga bor. Havo tarkibida 80 azot, 20 kislorod mavjud. Idishga 1 soniyada 0,1 l azot kiradi va uzluksiz ravishda mavjud havo bilan qo’shiladi va shu miqdordagi aralashma oqib chiqadi. Qancha vaqtdan so’ng idishda 99 azot bo’ladi?

Yechish: Q(t)- idish ichidagi azotning t vaqtdagi miqdori deb qaraymiz.

Har safar azot miqdori ga teng miqdorda oqib chiqadi va

ga teng miqdor qoladi.

Demak jarayon qonuniyat bilan ifodalanadi. Endi berilgan tenglamani yechamiz:

; integrallasak ,

;

Bunda da idishdagi havoning 80 ni azot tashkil etadi. Masalaning ushbu shartidan foydalansak, 16=20-C bundan ekanligi kelib chiqadi.

Endi idishdagi azot miqdori 99 ya’ni Q(t)=19,8 l bo’lgan vaqtni topamiz:

19,8

ekanligi kelib chiqadi.

s vaqtda idishdagi havoning 99 ini azot tashkil etarkan.

№2. Bakda 10 kg tuzdan iborat bo’lgan 100 litr suyuqlik bor. Bakka uzluksiz ravishda suv quyilyapti (minutiga 5 litr ) suyuqlik bilan aralashadi. Aralashma shu tezlikda oqib ketadi. 1 soatdan so’ng bakda qancha tuz qoladi?

Yechish: Q(t)- t vaqtdagi bakdagi tuz miqdori. suyuqlik konsentratsiyasi bo’lsa, bir minutdagi tuz miqdori. bundan

integrallasak:

tenglama yechimini topamiz. vaqtda tuz miqdori 10 kg? ya’ni boshlang’ich shartdan va umumiy yechimdan foydalanib,

Bundan, _.

Endi dan keyingi tuz miqdorini aniqlaymiz:

kg.

№3. Suyuqlikning idishdan oqib chiqishi uchun ketgan vaqtni aniqlash. Idishning ko’ndalang kesim yuzi  bo’lsin va u idishdagi suyuqlik balandligi h ning funksiya bo’lsin 

Idish ichidagi suyuqlik idish ostida, ko’ndalang kesim yuzi bo’lgan jumrakdan oqib chiqadi.

Bizga idish ichidagi suyuqlikning  dan  ga kelguncha ketgan vaqt  ni va suyuqlikning to’la oqib chiqish uchun ketgan T vaqtni aniqlash talab etilsin.

Idishdagi suyuqlik miqdorning o’zgarish tezligi ham idishdagi suyuqlik balandiligi  -ning funksiya bo’lsin . dt vaqt ichida idishdan oqib chiqqan suyuqlik miqdori silindir shaklida bo’lib, bu silindrning balandiligi dt va asosi dan iborat bo’lgani uchun, oqib chiqqan suyuqlik miqdori

(1)

dan iborat bo’ladi. Ikkinchi tomonidan bu oqib chiqqan suyuqlik miqdorini boshqacha ham hisoblash mumkin.  vaqt ichida idishdagi suyuklik satxi  ga kamayadi.

U holda bu suyuqlik miqdori

(2)

dan iborat. (1) va (2) ga asosan

yoki

(3)

differensial tenglamaga ega bo’lamiz (3) ni integrallasak

Agar idish ostidagi jumrakning ko’ndalang kesim yuzi kichik bo’lsa, Torichelli qonuniga asosan, idishdan suyuqlikning oqib chiqish tezligi

formula bilan aniqlanadi.

Bunda - suyuqlikning yopishqoqligiga, idish formasiga va boshqalarga bog’liq bo’lib suv uchun =0,6 ga teng.

U holda Yuqoridagi formulalar.

ko’rinishga keladi.

№ 4. Gorizontal holdagi silindrik bakning uzunligi 6 metr, diametri 4 metr. Bu bak ichidagi suyuklik radiusi metrli jumrakdan necha minutda oqib chikadi.

bo’lsin

№ 5. Matematik tebrangich (mayatnik) ning harakat tenglamasini keltirib chiqaring.

Vertikal tekislikda yotgan raduisli K aylana bo’ylab, og’irlik kuchi ta’siri ostida harakat qiluvchi m massaga ega bo’lgan P nuqta matematik tebrangichni tasvirlaydi.

Har bir momentda P nuqtaning o’rni burchak bilan to’la aniqlanadi.

Masalaning sharti bo’yicha P nuqta faqat og’irlik kuchi ta’siri ostida harakat qiladi. Ammo bu harakatda aylananing ro’li bor.

U R nuqtani aylana bo’ylab harakat qilishga majbur etadi. Ya’ni R nuqtaga aylananing ichki normali buyicha yo’nalgan F kuchi ta’sir etadi. Agar tortish kuchi mg ni ikkita tashkil etuvchiga ajratsak

u holda F₁+F₂=0 bo’ladi.

Shunday qilib, R ga ta’sir etayotgan kuchlarning teng ta’sir etuvchisi

Demak Pnuqtaning harakat tenglamasi Nyutonning ikkinchi qonuniga asosan

ko’rinishda bo’ladi.Bu esa ikkinchi tartibli differensial tenglamadir.

№ 6. Jism 10 minut ichida 100⁰dan 60⁰ga soviydi. Agar atrof muxitning temperaturasi 20⁰ bo’lsa, qancha vaqtdan sung jismning temperaturasi 25⁰ga tushadi.

Yechish. Nyuton qonuniga asosan jismning havoda sovish tezligi, havo bilan jism tempraturalari ayirmasiga proporsional.

(4)

bunda

T –jism temperaturasi, - jismning sovish tezligi, k- proporsionallik koeffisiyenti.

(4) dan

Buni integrallaymiz;

yoki

masaladagi shartlardan foydalanamiz;

bo’lganda T= 100⁰

100⁰-20⁰=s s=80⁰ T-20⁰=80⁰

t=10 bo’lganda T=60⁰

60⁰-20⁰=80⁰

T=25⁰ 25⁰-20⁰ =80⁰ 5=80

= t=40 min.

J:40 minut.

№ 7. Massasi m bo’lgan moddiy nuqta to’g’ri chiziqli harakat qilmoqda. Uning harakat qonunini toping.

Har bir momentda G nuqtadan koordinata boshigacha bo’lgan masofa x bo’lsa, nuqta tezligi bo’ladi.

Moddiy nuqtaga ikki tashqi kuch: ishqalanish kuchi — bx, b > 0 va taranglik kuchi —kx, k > 0 ta’sir etadi deylik. Nyutonning ikkinchi qonuniga asosair G nuqtaning harakat qonuni

bo'ladi. Bu ikkinchi tartibli differensial tenglamadir. Agar moddiy nuqta dvigatel bilan ta’minlangan bo’lib, dvigatelning G nuqtaga ta’sir kuchi F bo’lsa, u holda G ning harakat qonuni

bo'ladi. Ko’pincha F miqdor | F | ≤ F₀ = const munosabatga bo’ysunadi.
№ 8. Hayvonlarning biror turi o‘zgarmas muhitda alohida yashasin deylik. Urchish va o‘lishning davriyligini hisobga olmay, ko‘rilayotgan tur individuumlari sonining o‘zgarish qonunini toping.
Masalaning shartiga ko‘ra vaqtning berilgan kichik intervalida urchish va o‘lishlar soni berilgan individuumlar soniga proporsional bo‘ladi. N individuumlar sonining o‘sishi ko‘rilayotgan intervalda N0 soniga proporsional bo‘lib, bu o‘sish interval uzunligiga ham proporsional bo‘ladi. Shunday qilib, N(t) funksiyani uzluksiz va uzluksiz differensialanuvchi deb qarasak, ushbu

differensial tenglamaga ega bo’lamiz, bu yerda e — proporsionallik koeffitsiyenti («o‘sish» koeffitsiyenti). Urchish qonuni differensial tenglama bilan berilgan funksiyaning ko‘rinishi ekaniga ishonch hosil qilish qiyin emas. Bundan kelib chiqadiki, vaqt arifmetik progressiya bo‘yicha o‘zgarsa, individuumlar soni geometrik progressiya bo‘yicha o‘zgaradi. Agar > 0 bo’lsa, N(t) o‘sadi; agar < 0 bo‘lsa, N(t) kamayadi. = 0 bo’lganda N(t) o‘zgarmas bo‘lib, urchish o’lishni to’la qoplaydi.