Oddiy differensial tenglamalar uchun koshi masalasini yechishning sonli usullari

ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR UCHUN KOSHI MASALASINI YECHISHNING SONLI USULLARI.
Tadbiqiy masalalarda juda ko’p oddiy differensial tenglamalar uchraydi bunday tenglamalarni hamma vaqt analitik ko’rinishda yechib bo’lmaydi.
Masalan: tenglamaning umumiy yechimini elementar funksiyalar orqali ifodalab bo’lmaydi. Bunday masalalarni taqribiy yechishga to’g’ri keladi.
u`=f(x,u) (1)
(1) – ko’rinishdagi tenglamaga 1- tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
u<sup>(n)</sup>=f(x,u,u`,u``,...,u^(n-1)) (2)
(2) – ko’rinishdagi tenglamaga n- tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Oddiy differensial tenglama uchun Koshi va chegaraviy masala qo’yiladi.
Agar (1) ko’rinishdagi oddiy differensial tengamani u(x₀)=u₀ boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilingan bo’lsa, bunday masala Koshi masalasi deyiladi.
Ketma-ket differensiallash usuli.
(3)

(3) ko’rinishdagi Koshi maslasi berilgan bo’lsa y(x) yechim x₀ nuqta atrofida darajali qator ko’rinishda izlanadi.

(4)
1-misol.
boshlang’ich masala yechimi darajali qator ko’rinishda topilsin. y(0.5)=?

Y echim quyidgi ko’rinishda bo’ladi.
2-misol.

Boshlang’ich masala yechilsin va [0,2] oraliqda h=1 qadam bilan yechim qiymatlari topilsin.
Yechimni:

darajali qator ko’rinishda izlaymiz.
1)Boshlang’ich qiymatlarni qo’yib quyidagilarni aniqlaymiz

2) sistemani x bo’yicha differensiallaymiz:

Bundan ni topamiz

Xuddi shunday

Eyler usuli:
y`=f(x,y), y(x₀)=y₀
koshi masalasi berilgan bo’lsin, hosilani chekli ayirmalar bilan almashtirsak quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
bundan y_i+1 topsak

ko’rinishda bo’ladi.
Demak Eyler metodi yordamida differensial tenglamaning yechimi y(x) ni ko’rinishi emas balki uni
y(x₀), y(x₁) ,...., y(x_n) nuqtalardagi qiymati topiladi.

Misol:
y^`=3x+yx y(0)=1 Boshlang’ich masala yechimi [0;1] oraliqda h=0.2 qadam bilan hisoblansin.

x₀=0, x₁=0.2, x₂=0.4, x₃=0.6, x₄=0.8, x₅=1
y₀=1;
formulaga asosan

ODT LAR UCHUN QO`YILGAN KOSHI MASALASINI TAQRIBIY YECHISHNI RUNGE-KUTTA USULI.

u`=f(x,u)
u(x₀)=u₀
ko’rinishdagi oddiy differensial tengamani boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi u(x) bo’lsin.
Runge-Kutta usullari.
Bu usulda yechim y_n+1=y_n+∆y_i formula bo’yicha izlanadi.
Bunda
Birinchi tartibli Runge-Kutta usuli.
q=1 da Eyler usuli kelib chiqadi.

Ikkinchi tartibli Runge-Kutta usuli.
;

Uchinchi tartibli Runge-Kutta usuli.
;

To’rtinchi tartibli Runge-Kutta usuli.
;