Oliy matematika

6-misol. lim ni toping.

x2

Yechish. lim(3х 1)  321 7  0. Shuning uchun:

x2

lim 2х  3 =  22  3  7 1. ^x2 3х 1 lim (3х 1) 32 1 7

x2 7-misol. lim ^{х 1} ni toping. x3 х 3 Yechish. lim(х 3)  33  0 bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi.

x3 Suratning limiti lim(х 1)  31 4  0 bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini

x3
topamiz: lim х 3 = limx3 (х 3) 33 0  0.


^x3 х 1 lim(х 1) 31 4

x3
Bundan lim ^{х 1}   kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz x3 х 3
katta funksiya bo’ladi.

Teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha х lar uchun у=f(x) 0 va
lim f (x)  b (b-chekli son) bo’lsa, u holda b 0 bo’ladi. xа


Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya‘ni lim f (x)  b bo’lib b<0 bo’lsin. U holda |f(х)-

xа

b||b|>0 bo’lishi ravshan. Oxirgi tengsizlik f(х)-b ayirmaning nolga intilmasligini, ya‘ni b son f(x) funksiyaning х  a dagi limiti emasligini ko’rsatadi. Bu teoremaning shartiga zid, binobarin b<0 degan faraz shu ziddiyatga olib keldi. Demak, f(x) 0 bo’lsa lim f (x)  0 bo’lar ekan.

xа
Shunga o’xshash limitga ega f (x)  0 funksiya uchun lim f (x)  0 bo’lishini isbotlash


xа
mumkin.

Boshqacha aytganda nomanfiy funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti manfiy son bo’laolmas ekan va nomusbat funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti musbat son bo’laolmas ekan.