Oliy matematika

10-misol. lim x2 _5x  2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang.

x 5 x²  25

Yechish. f (x) = x_{2 5x} funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida, masalan (4,6)

_
intervalda qaraylik. Ixtiyoriy  0 sonni olib f (x)b  ni x  5 deb quyidagicha

o’zgartiramiz:

turibdiki,  4 deb olsak, u holda 0 | x 5 | tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha


x² 25  x²  25

x4; 6 ^uchun x_{2 5x} 2 ^< ₄  tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni f (x) ⁼ _x2 _{5x }
funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.


Ta„rif. Istalgancha katta M>0 son uchun shunday M 0 son mavjud bo’lib,
| x  a | tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha а dan farqli х lar uchun | f (x) | M tengsizlik bajarilsa, x  a da f (x) funksiya cheksizlikka intiladi deb aytiladi va bu lim f (x)  kabi


xa yoziladi.
1

11-misol. lim  ekani isbotlansin.


x2 x  2
1

Yechish. f (x) = funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy M>0 sonni olsak, x  2
1 1
>M tengsizlik x  2  bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar   deb


M M
1 1

olinsa, x 2  tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun > =M yoki

x  2 
1
>M tengsizlik bajariladi. Bu esa x  2 da f (x) = funksiya cheksizlikka intilishini x  2

1
bildiradi, ya‘ni lim  . x2 x  2

2.Funksiyaning cheksizlikdagi limiti

Ta„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan
 0 son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)b  tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son y  f (x) funksiyaning x  dagi limiti deb ataladi va bu lim f (x)  b kabi yoziladi.


x

12-misol. lim x ^1 1 ekani isbotlansin.

x x

Yechish. f (x) = x ^1 funksiyani qaraylik. Istalgan  0 sonni olsak
1
bo’lib N  desak, barcha |x|>N uchun


 tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni f (x) ⁼ x ^1 funksiyaning x  x

dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.

Ta„rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun f (x)  M tengsizlik bajarilsa, y  f (x) funksiya x  da cheksizlikka
intiladi deyiladi va lim f (x)  kabi yoziladi.


x

13-misol. lim x²  ekani isbotlansin.

x

Yechish. f (x) = x² funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib f (x)  M tengsizlikni tuzamiz. x² >M, bundan x  M kelib chiqadi. N  M deb olinsa, x  N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun x²  N ²  M tengsizlik bajariladi. Bu lim x²   ekanini

x
bildiradi.

3.Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi

Teorema. Agar f (x) funksiyaning а nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda у= f (x) funksiya а nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.

Isboti. lim f (x)  b chekli son bo’lsin. U holda limitni ta‘rifiga binoan istalgan  0 son

xa
uchun shunday  0 son topilib (a , a ) intervaldagi barcha х lar uchun f (x)b  yoki f (x)  b  f (x)b , bundan f (x)  b  bo’lishi kelib chiqadi. Agar M  b 
deb olinsa а nuqtaning -atrofidagi barcha х lar uchun f (x)  M tengsizlik bajariladi. Bu f (x) funksiya (a , a ) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.
1
Agar f (x) funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda f (x)

funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz.

Bir tomonlama limitlar

Ta„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limitining ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b₁ limiti uning х=а nuqtadagi (yoki x  a-0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va b₁  lim f (x) , yoki b₁  lim f (x) , yoki

xa xa0 xa

b₁  f (a0) kabi yoziladi.
Agar а=0 bo’lsa, u holda b₁  lim f (x)= f (0) kabi yoziladi.


x0

Ta„rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti ta‘rifida х o’zgaruvchi а dan katta bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b₂ limiti uning х=а nuqtadagi (yoki

x  a+0 dagi) o‟ng tomonlama limiti deb ataladi va b₂  lim f (x) yoki b₂  lim f (x), yoki

xa xa0 xa

b₂  f (a0) kabi yoziladi.
Agar а=0 bo’lsa, u holda b₂  lim f (x)= f (0) kabi yoziladi.


x0

f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi. b₁ =b₂ bo’lsa, u holda

f (x) funksiya х=а nuqtada limitga ega.
86-chizma.
Aksincha, f (x) funksiyaning а nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni f (a 0)= f (a  0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya а nuqtada limitga ega bo’ladi.
Masalan,
 1, аgаr x  0 bo'lsа,

f (x)  signx  ^_ 0, аgаr x  0 bo'lsа, ^1, аgаr x  0 bo'lsа
funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki f (0)=-1, f (0)=1 va f (0)  f (0) (86-chizma).
Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega.

4.Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.
Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz.
Bunda isbot faqatgina ха hol uchun o’tkaziladi ( х da shunga o’xshash isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun, ха ni ham, х ni ham yozmaymiz.

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni lim(u₁(x)u₂(x)...u_n(x))  limu₁(x)limu₂(x)...limu_n(x)_.

Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. limu₁(x)  а, limu₂(x)  b bo’lsin. U holda lim(u₁(x)u₂(x))  a b tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz.
Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan u₁  a, u₂  b deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi α, β- cheksiz kichik funksiyalar.
Demak, u₁ u₂  ab ab. Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, α+βcheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak
lim(u₁ u₂)  a b  limu₁ limu₂ ekanligi kelib chiqadi.


x²  4 (x  2)(x  2)

1-misol. lim  lim  lim(x  2)  lim x  lim2  2 2  4.

x2 x  2 x2 x  2 x2 x2 x2

x⁴ 5x²  x⁴ 5x²   5  5

2-misol. ^lim x4  ^lim_x x4  x4 _  ^lim_x_1 x2 _  ^lim_x1 ^lim_x x2 10 1. <sub>x

</sub>

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni lim(u₁(x)u₂(x)...u_n(x))  limu₁(x)limu₂(x)...limu_n(x)_.

Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz. limu₁  a, limu₂  b bo’lsin. U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan u₁  a , u₂  b bo’ladi, α, β-cheksiz kichik funksiyalar. Demak, u₁u₂  ab abba. Bu tenglikdagi abo’zgarmas son, ba- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi qismini qo’llasak limu₁u₂  ab  limu₁limu₂ ekanligi kelib chiqadi.

3-misol. lim(х 3)(х  4)  lim(х 3)lim(х 4)  [lim x lim3][lim x lim4] 

x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2
 (2  3)(2  4)  5(2)  10.


4-misol. lim^1 ¹x^^2  x¹₂ ^  lim_x^1 ¹x^lim_x^2  x¹₂ ^  (10)(2 0)  2 . _x   

Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini limit belgisidan chiqarish mumkin, ya‘ni lim Cu(x)  C limu(x) _, chunki limC C .

5-misol. lim 7х²  7lim х²  7(1)²  7 .

x1 x1

Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar limv  0 bo’lsa, u limu
lim  bo’ladi. v limv


Isboti. lim u(x)=a, lim v(x)=b≠0 bo’lsin. U holda u  a, v  b bo’lishini hisobga olsak

21. 
    
    a  a  a  a a ab b  ab  a a b  a
    

22. b   b _b  b   b  b(b )  b  b(b )

    
    

    1. b  a tenglikka ega bo’lamiz, bunda -o’zgarmas son, - cheksiz kichik funksiya, chunki

       
       
    2. 
       
       b(b )
       

b  a cheksiz kichik funksiya va b(b)≠0.

21. 
    
    a limu
    

So’nggi tenglikka 16.5-teoremani 2-qismini qo’llasak lim  

21. 
    
    b limv
    

tenglik hosil bo’ladi.