Oliy matematika

Matritsa rangi va uni aniqlash usullari

n x m o`lchamli A = (a<sub>iκ</sub>) matritsa berilgan bo`lib, p matritsaning satrlari soni n va ustunlari soni m larning kichigidan katta bo`lmagan son bo`lsin. Matritsaning ixtiyoriy p ta satrini va ixtiyoriy p ta ustunini o`chiramiz. O`chirilgan elementlar p- tartibli kvadratik matritsani tashkil etadi va unga o`z navbatida p-tartibli determinant yoki minorni mos qo`yish mumkin.

A matritsaning rangi deb, noldan farqli matritsa osti minorlarining eng katta tartibiga aytiladi va rang(A) ko`rinishida ifodalanadi.
1-masala. matritsa rangini aniqlang?
Berilgan matritsa 3 x 2 o`lchamli bo`lgani uchun satrlari va ustun-lari sonini taqqoslaymiz va kichigi 2 ni tanlaymiz. Matritsadan ikkinchi tartibli minorlar ajratamiz va ularning kattaligini hisoblaymiz. Jarayonni noldan farqli ikkinchi-tartibli minor ajralmaguncha davom etamiz:

Berilgan matritsadan noldan farqli eng yuqori ikkinchi tartibli minor ajraldi. Demak, ta`rifga binoan, A matritsa rangi 2 ga teng.
2-masala. matritsa rangini aniqlang?

B matritsadan ajralishi mumkin bo`lgan eng yuqori - ikkinchi tartibli har qanday minor nolga teng:

Demak, matritsa rangi ikkiga teng bo`la olmaydi. V matritsa nolmas matritsa bo`lgani uchun uning rangi 1 ga teng.

3-masala. matritsa rangini aniqlang?

C matritsa uchinchi tartibli kvadratik matritsa. Undan yagona eng yuqori 3-tartibli M₁ minor ajraladi. M₁ minor kattaligini hisoblaymiz:

M ₁= 0 bo`lgani uchun, C matritsa rangi 3 ga teng
bo`la olmaydi. bo`lgani uchun, rang(C) = 2.

Matritsa rangi uning ustida quyidagi elementar almashtirishlar bajarganda o`zgarmaydi.

1. 
   Matritsa biror satri (ustuni) har bir elementini biror noldan farqli songa ko`paytirganda;
   
2. 
   Matritsa satrlari (ustunlari) o`rinlari almashtirilganda;
   
3. 
   Matritsa biror satri (ustuni) elementlariga uning boshqa parallel satri (ustuni) mos elementlarini biror songa ko`paytirib, so`ngra qo`sh-ganda;
   
4. 
   Matritsa transponirlanganda.
   

Matritsa rangini aniqlashning ta`rif asosida biz yuqorida masala-larda ko`rgan «minorlar ajratib hisoblash» usuli va nollar yig`ib hi-soblashga asoslangan «Gauss algoritmi» usullari mavjud.

Matritsa rangi «Gauss algoritmi» yoki nollar yig`ish usuli asosida quyidagicha aniqlanadi: dastlabki ko`rinishdagi matritsa yuqorida sanab o`tilgan elementar almashtirishlar yordamida «trapetsiyasimon matri-tsa» ko`rinishiga keltiriladi. Trapetsiyasimon matritsa deb, bosh diago-naldan yuqorida yoki quyida joylashgan har bir elementi nolga teng bo`lgan matritsaga aytiladi. Trapetsiyasimon matritsaning rangi yoki xuddi shuning o`zi dastlabki matritsaning rangi trapetsiyasimon matri-tsaning noldan farqli bosh diagonal elementlari soniga teng.

2. 
   Masala. matritsaning rangini nollar yig`ish usulida aniqlang?
   

Berilgan dastlabki matritsa ustida quyidagicha elementar almashtirishlar bajaramiz va uning ko`rinishini trapetsiyasimon ko`rinishga keltiramiz:
 

Trapetsiyasimon matritsa bosh diagonal elementlaridan ikkitasi nol-dan farqli bo`lgani uchun uning rangi va shu bilan birga berilgan matri-tsa rangi ikkiga teng.