Operasion hisob yordamida differensial tenglamalar va tenglamalar sistemasini echish. Tebranishlar differensial tenglamalarni yechish

3. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar sistemalari.
Yuqori tartibli yagona differensial tenglamaga keltirish

Differensial tenglamalar sistemasining maxsus ko`rinishi, chiziqli sistemalarni qarash bilan cheklanamiz.

Ikki noma`lum y₁(x), y₂(x) funksiyalar holi uchun chiziqli sistema


dy₁/dx = a₁₁·y₁ + a₁₂·y₂
dy₂/dx = a₂₁·y₁ + a₂₂·y₂ (5)

ko`rinishga ega bo`lib, umuman olganda, α_ij koeffitsiyentlar erkli o`zgaruvchi x ning uzluksiz funksiyalaridir.

(5) sistemani integrallash usullaridan biri, bir noma`lumli ikkinchi darajali differensial tenglamaga keltirishdir. (5) sistemaning birinchi tenglamasi ikkala qismini x bo`yicha differensiallaymiz,



tenglamada dy₁/dx, dy₂/dx hosilalar sistemadagi ifodasi bilan almashtirilganda,

tenglama o`ng qismida y₁ va y₂ qatnashgan hadlar guruhlanganda


(6)

ko`rinishni oladi, bu yerda β₁ va β₂ koeffitsiyentlar α_ij koeffitsiyentlar va ularning hosilaiari orqali aniq va ravshan ifodalanadi.

(6) tenglamani (5) sistemaning birinchi tenglamasi bilan birgalikda qarab,
(7)
sistemani olamiz.
Erkli o`zgaruvchi x ning qaralayolgan sohasida muno-sabat o`rinli bo`lsa, (7) sistemani у<sub>1</sub> va y<sub>2</sub> ga nisbatan yechish, ya`ni
va lar orqali ifodalash mumkin. Natijada,


(8)
(9)
tenglamalarga ega bo`lamiz. (8) tenglama yagona y<sub>1</sub>(x) noma`lum funk-siyali, ikkinchi tartibli chiziqli tenglamadir. Agar dastlabki (5) sistemada α_ij koeffitsiyentlar o`zgarmas bo`lsa, (8) tenglama ham o`zgarmas koef-fitsiyentli bo`lib, ushbu tenglamani yuqorida ko`rilgan qulay usulda yechish mumkin.
Misol. Sistemani yeching.

Birinchi tenglamani ikkala qismini differensiallaymiz, natijada

sistemaning birinchi tenglamasi bilan birgalikda

ko`rinishni oladi.
Oxirgi sistemani y₁ va y₂ larga nisbatan yechamiz:

Natijada, noma`lum y₁(x) funksiyaga nisbatan

tenglama hosil boladi. Ushbu tenglamani ma`lum usulda yechamiz va

y₁=(c1+c₂-x)·e^x
funksiyani olamiz. Oxirgi sistema ikkinchi tenglamasi yordamida
y₂=-1/2·(2c₁+c₂+2c₂x)·e^x
yechim ham kelib chiqadi.
Quyidagi almashtirishlarni kiritamiz:
, , ,

Yuqoridagi almashtirishlar yordamida, (5) sistemani ixcham

(10)

matritsali tenglama ko`rinishida yozish mumkin.)

Masalan, quyidagi

sistemaning matritsa ko`rinishi