Operasion hisob yordamida differensial tenglamalar va tenglamalar sistemasini echish. Tebranishlar differensial tenglamalarni yechish

4. O`zgarmas koeffitsiyentli differensial tenglamalarning chiziqli
sistemasi va uning umumiy yechimini toping

(5) sistemaning α_ij koeffitsiyentlari o`zgarmas bolsa, sistemani yechishda chiziqli algebra usullarini qo`llash imkoni mavjud.

Dastlab boshida (5) sistema Trivial (nol) y₁(x) = 0, y₂(x) = 0 yechimlarga ham ega ekanligmi tekshirib ko`rish qiyin emas. Sistemamng notrivial (nolmas) yechimlarini y<sub>1</sub> = P<sub>1</sub>·e<sup>λx</sup>, y<sub>2</sub> = P<sub>2</sub>·e<sup>λx</sup> yoki matrisa у = Р·e<sup>λx</sup>, bu yerda, ko`rinishida qidiramiz.
Y = λP·e^λx bo`lganidan, Y va Y larni (10) tenglamaga qo`yib, e^λx ga qisqartirilgandan so`ng, λ, P juftliklarni topish uchun matritsali

A·P = λ ·P (11)

tenglamani olamiz. (11) tenglamani yechish A matritsaning xos P vektorlari va X qiymatlarini topish masalasidir. A matritsaning xos qiymatlari

(12)

xarakteristik tenglama ildizlari bo`lib, so`ngra xos qiymatlarining har birigategishli xos vektorlar quriladi.)

λ₁ va λ₂ sonlar (12) xarakteristik tenglamaning turli haqiqiy ildizlari bo`lsin. Agar P<sub>1</sub> vektor λ<sub>1</sub> xos qiymatga tegishli biror-bir xos vektor, P<sub>2</sub> esa λ<sub>2</sub> xos qiymatga mos biror xos vektor bo`lsa, u holda (10) tenglama-ning ikki xususiy yechimlari Y₁= P₁·e^λ1·x, Y₂ = P₂·e^λ2·x formulalardan aniqlanadi.
Umumiy yechim
Y = C₁·Y₁ + C₂·Y₂,

ko`rinishga ega, bu yerda C<sub>1</sub> va C<sub>2</sub> ixtiyoriy o`zgarmaslar.

Agar λ₁ = λ₂ bo`lsa, unda ikki Y<sub>1</sub> va Y<sub>2</sub> xususiy yechimlarning o`rniga birgina Y₁ yechimni olamiz. Ushbu holda ikki xususiy yechim sifatida Y₁ va x·Y₁ lar tanlanadi.
Agarda X₁ va X₂ sonlar haqiqiy sonlar bo`lmasa, u holda λ<sub>1</sub> = α + β·i, λ<sub>2</sub> = α - β·i - bu yerda β ≠ 0. λ<sub>1</sub> va λ<sub>2</sub> kompleks xos qiymatlarga mos xos vektorlar quriladi. Xususiy Y<sub>1</sub>= P<sub>1</sub>·e<sup>λ1·x</sup>, Y<sub>2</sub> = P<sub>2</sub>·e<sup>λ2·x</sup> yechimlar ham o`zaro qo`shma kompleks bo`ladi. Haqiqiy yechimlarni olish uchun Y₁ va Y₂ larning chiziqli kombinatsiyasini quyidagi ko`rinishda

Y₁₀ = Y₁ + Y₂, Y₂₀ = (l/2i)(Y₁ - Y₂)

quramiz.
Misol. Sistemani yeching.

Ushbu sistema uchun

A matritsaning xos qiymatlari λ₁ = 1, λ₂ = 6 va ularga tegishli xos , vektorlar qurilgan (I - qism, §17 ga qarang).

Xususiy yechimlar ,
Matritsa ko`rinishda umumiy yechim
ko`rinishda yozilib, undan esa
y₁(x) = - 2C₁·e^x + C₂·e^6x, y₂(x) = 3C₁·e^x + C₂·e^6x umumiy yechimlar olinadi.