O'quv jarayonlarini matematik modellash

O'QUV JARAYONLARINI MATEMATIK MODELLASH
Juraqulov T.T.
20- asrning ikkinchi yarmida rivojlanish uchun kuchli turtki bo'lgan ilmiy va amaliy faoliyat sohasidir . Ushbu mavzu intellektual harakat doirasida "kibernetika", "operatsion tadqiqotlar" va keyinchalik - "tizimli tahlil", "informatika" atamalari bilan bog'liq holda ishlab chiqilgan.
Muhim muammo noaniqlikni hisobga olishdir. U iqtisodiy va ijtimoiy-iqtisodiy hodisa va jarayonlarning ehtimollik-statistik modellarida asosiy o'rinni egallaydi. Ijtimoiy-iqtisodiy modellar uchun barqarorlik muammolari (dastlabki ma'lumotlar va model taxminlarining ruxsat etilgan og'ishigacha) [1] da ko'rib chiqiladi.
Alohida o'rinni simulyatsiya tizimlari egallaydi, bu sizga quyidagi savollarga javob berishga imkon beradi: "Agar ... nima bo'ladi?" ([2] da ta'kidlanganidek, "... har qanday model, asosan, taqliddir, chunki u haqiqatga taqlid qiladi"). Taqlidning asosi (uning ma'nosini biz tushunamiz
variantli hisoblar yordamida iqtisodiy hodisani tahlil qilish) matematik modeldir. [2] ga koʻra, simulyatsiya tizimi - bu oʻrganilayotgan jarayonning borishini taqlid qiluvchi, yordamchi dasturlarning maxsus tizimi va axborot bazasi bilan birlashtirilgan modellar toʻplami boʻlib, ular variantli hisoblarni juda sodda va tez amalga oshirish imkonini beradi. Shunday qilib, simulyatsiya uzoq vaqt davomida murakkab tizimlarning harakatini tavsiflovchi matematik modellar bilan kompyuter tajribalarini o'tkazishning raqamli usuli sifatida tushuniladi [3], simulyatsiya tajribasi esa quyidagi olti bosqichdan iborat:

1. 
   vazifalarni shakllantirish;
   
2. 
   matematik modelni yaratish;
   
3. 
   kompyuter dasturini tuzish;
   
4. 
   modelning mosligini baholash;
   
5. 
   eksperimentni rejalashtirish;
   
6. 
   eksperiment natijalarini qayta ishlash.
   

Simulyatsiya modellashtirish turli sohalarda, jumladan, iqtisodiyotda keng qo'llaniladi [3].
Boshqarishning iqtisodiy va matematik usullarini ajratish mumkin
bir necha guruhlarga bo'linadi:

• 
  optimallashtirish usullari; "
  
• 
  noaniqlikni hisobga oladigan usullar, birinchi navbatda, ehtimollik-statistik;
  
• 
  simulyatsiya modellarini qurish va tahlil qilish usullari; "
  
• 
  ziddiyatli vaziyatlarni tahlil qilish usullari (o'yin nazariyasi). "
  

Ushbu guruhlarning barchasida statik va dinamik sozlamalarni ajratish mumkin. Vaqt omili mavjud bo'lsa, differentsial tenglamalar va farq usullari qo'llaniladi.
Boshqaruv jarayonlarini modellashtirish tadqiqotning uch bosqichini ketma-ket amalga oshirishni o'z ichiga oladi:

1. 
   boshlang'ich amaliy muammodan sof nazariyaga qadar
   

matematik muammo;

2. 
   bu masalani matematik o'rganish va yechish ichida;
   
3. 
   matematik xulosalardan amaliyotga qaytish
   

muammo.
Boshqaruv jarayonlarini modellashtirish sohasida, albatta,
va matematikani qo'llashning boshqa sohalarida alohida ajratib ko'rsatish maqsadga muvofiqdir
to'rt komponent:
MUAMMO-MODEL-METOD-QO'LLANISH SHARTLARI.
Vazifa, qoida tariqasida, ma'lum bir dastur sohasining ehtiyojlari bilan yaratiladi. Bu holda haqiqiy vaziyatning mumkin bo'lgan matematik rasmiylashtirishlaridan biri sodir bo'lishi aniq.
Uslubiy tahlil boshqaruv jarayonlarini modellashtirishning birinchi bosqichi va haqiqatan ham har qanday tadqiqotdir. U nazariy o'rganish uchun dastlabki formulalarni va shuning uchun ko'p jihatdan butun tadqiqotning muvaffaqiyatini belgilaydi. Modellashtirish usullarining rivojlanish dinamikasini tahlil qilish bizga eng istiqbolli usullarni aniqlash imkonini beradi. Xususan, ehtimollik-statistik modellashtirishda raqamli bo'lmagan statistika usullari eng istiqbolli bo'lib chiqdi [4]. Muayyan misolni ko'rib chiqing - deterministik ta'limni boshqarish modeli.
Ta'lim tizimidagi murakkab boshqaruv muammolarini hal qilish hozirgi vaqtda o'quv jarayonlarini oldindan modellashtirishsiz deyarli mumkin emas.
Model turini tanlash jarayonning tabiati va vazifa bilan belgilanadi
boshqaruv. Ta'lim tizimida modellashtirish yordamida hal qilinadigan asosiy vazifalar turlari:
1. Ta'lim jarayonining hozirgi holatini o'rganish.
Mavjud modellar uchun parametrlar aniqlanadi va chiqish parametrlarining qiymatlari hisoblab chiqiladi va individual parametrlar va qadamlar o'rtasidagi munosabatlar aniqlanadi.
2. Talaba va guruh bilimlari holatini bashorat qilish.
1-bandga muvofiq muammolarni hal qilishda parametrlarni baholash asosida. Balki
yangi muammolarni hal qilishni bashorat qilish - analoglar.
3. Ta'lim jarayonini boshqarishni optimallashtirish.
Tasodifiy ta'lim jarayonini amalga oshirish to'plami uchun nazorat harakatlarining to'plami natijasida ma'lum bir ehtimollik o'lchovi aniqlanishi mumkin [1]. Sifat (foydalilik) funksionali shakllanadi, u har bir kombinatsiya uchun tasodifiy jarayonni amalga oshirishdan va tegishli nazoratdan hisoblanadi. Optimallashtirish muammosi tasodifiy jarayonni boshqarish strategiyasining sinteziga tushiriladi, bunda sifat funksionalining ekstremal qiymatiga erishiladi. Modellashtirishning pirovard maqsadi ta’lim jarayonining har qanday parametrlarini (parametrlarini) takomillashtirish orqali samaradorligini oshirishdan iborat. Masalan, [2] da kompyuterlashtirilgan o'quv tizimining ishlashi uchun algoritm taklif qilingan. Dastlabki sinov ma'lumotlariga asoslanib, unda o'qitish parametrlari (bosqichlar soni) rejalashtirilgan va oraliq sinov natijalariga ko'ra maksimal ijobiy natijaga erishish rejasi tuzatiladi. Tizimning o'ziga xos xususiyati uning o'z-o'zini o'rganishidir, chunki statistik xatolikni kamaytirish uchun ma'lumotlar to'planadi.
Ta'lim tizimlarida tadqiqot va boshqaruvda qo'llaniladigan matematik modellarning asosiy turlari:
1. Vaqti-vaqti bilan o'rganish jarayonini (birinchi navbatda, natijani) tavsiflovchi asosiy parametrlarning analitik bog'liqliklari. Treningda har doim inson omili mavjud bo'lib, uning harakati murakkab psixofizik xususiyatga ega, analitik modellar, qoida tariqasida, ehtimollik yoki statistik xususiyatga ega. Bu deterministik tavsifga mos kelmaydigan muhim xususiyatlar va munosabatlarni hisobga olgan holda modelning asl tizimga muvofiqligini oshiradi. Analitik bog'liqliklar boshqa turdagi modellarga nisbatan bir qator afzalliklarga ega. Birinchidan, ilg'or matematik usullar o'rganilayotgan tizimning harakatini tavsiflovchi modelning eng qulay shaklini olish uchun ifodalarni o'zgartirishga imkon beradi. Shunday qilib, tahlilni umumiy shaklda amalga oshirish, samarali boshqarish uchun parametrlarning optimal nisbatlarini aniqlash mumkin.Ikkinchidan, parametrlarning raqamli qiymatlarini almashtirganda, modelning mosligini nazorat qilish mumkin. Shu bilan birga, samarali qo'llanilishi uchun analitik modellar juda murakkab bo'lmasligi kerak.
2. Grafik modellar.
Grafik nazariyasi usullari hozirgi vaqtda mavzular bo'yicha nazariy materialni o'rganishni modellashtirish uchun keng qo'llaniladi
testlar va h.k. [3] Grafik modelni qurishda grafikning uchlari berilgan mavzu bo‘yicha bilim elementlariga, yoylari esa ularning orasidagilarga mos keladi.
bu elementlar sabab-oqibat munosabatlari. Bunday bog'lanishlarning o'ziga xos xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, grafik yo'naltirilgan.
Bilim dinamikasini bir bosqichli yoki ko'p bosqichli jarayon sifatida ko'rish mumkin. Bosqich deganda, odatda, nisbatan qisqa vaqtni oladigan alohida bo‘lim yoki butun o‘quv fanini o‘rganish tushuniladi.
Ko'p bosqichli o'quv jarayoni modelini yaratish uchun bilim dinamikasining tarmoq modellari qo'llaniladi. Tarmoq deganda bilimlarni o'zlashtirish, nazorat qilish va diagnostika qilishning cheklangan miqdordagi bosqichlari to'plami tushuniladi, unda o'quv fanining qoidalari yoki faoliyatning tipik birliklari bir bosqichdan ikkinchisiga o'tish matritsasiga muvofiq aylanadi. . O'quv materialining kirish oqimining xususiyatlari bilan farq qiluvchi bilimlar dinamikasining ochiq (ochiq), yopiq va aralash tarmoqlari mavjud. Katta o'lchamdagi tarmoqlar uchun modelning adekvatligi va hisoblash qulayligining qarama-qarshi talablarini birlashtirgan tahliliy taxminiy tahlil usullari qo'llaniladi. Shuni ta'kidlash kerakki, grafik usullar tekislikda va uch o'lchovli fazoda qurish imkoniyatlari bilan cheklangan, shuning uchun model murakkablashganda ular o'zlarining ko'rinishini yo'qotadilar.
Mahalliy olimlarning ishlarida o'quv jarayonini analitik modellashtirishga ehtimollik-statistik yondashuv ishlab chiqilgan [1, 3, 4]. Bilim birligini olish yoki unutish hisobga olinadi
tasodifiy hodisa sifatida va o'rganish vaqt bilan funktsional bog'liq bo'lgan parametrlar bilan tavsiflanadi.
O'quv fanini o'rganishni modellashtirishda o'quv jarayoni o'zlashtirish va unutish birliklari oqimlarining superpozitsiyasi sifatida belgilanadi.
o'quv materiali. Oqimlarning matematik tavsifi asosida bilimlarning o'zgarishi integro-differensial tenglamalar ko'rinishida modellashtiriladi.
Umumiyroq shaklda, tabiatan stoxastik bo'lgan o'quv jarayoni yarim Markkov deb hisoblanadi, unda bir holatdan ikkinchi holatga o'tish ehtimoli boshlang'ich holatga ham, o'tish sodir bo'lgan holatga ham bog'liq. qilingan [1]. Ta'limning tabiatini hisobga olgan holda, faqat vaqtga bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan qo'shni davlatlarga o'tish amalda mumkin deb hisoblanadi. Natijada, har doim ham analitik echimlarga ega bo'lmagan vaqtga bog'liq koeffitsientli differensial tenglamalar tizimlarini olish mumkin.
Ushbu turdagi nisbatan sodda modelni qurish varianti [2] da tasvirlangan. Unda har bir bosqichda bilimlarni uzatish jarayoni assimilyatsiya va unutish jarayonlarining algebraik yig'indisi sifatida qaraladi.
va o'ngga yoki chapga o'tish ehtimoli teng deb hisoblanadi. O'tkazish jarayonini tavsiflovchi natijaviy tenglama
Teylor qatorida parchalanish natijasida foydalanuvchiga bilim va uning ikkinchi tartibdan yuqori bo'lmagan vaqt hosilalarini o'z ichiga olgan shartlar bilan cheklanishi giperbolik tipdagi differensial 2-tartibdir. Ushbu tenglama topshiriqga mos keladigan turli chegaraviy shartlarni belgilash orqali o'quv jarayonini modellashtirish uchun ishlatiladi.
Shunday qilib, matematik modellashtirish zamonaviy ta'lim tizimlarida faol qo'llaniladi. Bunga hozirda kompyuter texnologiyalarining keng qo'llanilishi yordam bermoqda, bu esa har xil turdagi ishlab chiqilgan matematik modellar asosida o'quv jarayonini boshqarish muammolarini tezda hal qilish imkonini beradi.
Boshqaruv jarayonining o'ziga xos modeliga misol sifatida bilimlarni o'zlashtirish o'rtasidagi vaqtni taqsimlash modelini ko'rib chiqing
va malakalarini rivojlantirish [5].
Har qanday bilim qisman “axborot” (“sof bilim”) va qisman “mahorat” (“know how”)dan iborat. Ko'nikma - bu mahorat, bu o'z maqsadlaringizga erishish uchun mavjud ma'lumotlardan foydalanish qobiliyati; Ko'nikmani ma'lum ko'nikmalar yig'indisi sifatida ham tavsiflash mumkin, yakuniy tahlilda mahorat - bu metodik ishlash qobiliyatidir [6].
Keling - vaqt lahzasida talaba tomonidan to'plangan ma'lumotlar miqdori ("sof bilim"), - to'plangan ko'nikmalar miqdori: mulohaza yuritish, muammolarni hal qilish, o'qituvchi tomonidan taqdim etilgan materialni tushunish; - vaqt oralig'ida bilimlarni to'plash uchun ajratilgan vaqt nisbati . Keling, o'sishning boshlang'ich pozitsiyasi sifatida modelni olamiz talabaning bilim miqdori bunga sarflangan vaqtga va to'plangan ko'nikmalarga mutanosib ravishda . Demak,
(1)
bu erda koeffitsient talabaning individual xususiyatlariga bog'liq.
Shuningdek, biz bir vaqtning o'zida bilimlarning ko'payishi bunga sarflangan vaqtga, mavjud ko'nikma va bilimlarga mutanosib ekanligini qabul qilamiz . Demak,
(2)
K -omil ham shaxsga bog'liq. Talaba ko'nikmalarni qanchalik tez egallasa, u shunchalik ko'p biladi va qila oladi. U bilimni qanchalik tez o'rgansa, shunchalik ko'p. Ammo u qanchalik ko'p eslasa, shunchalik tez eslaydi, deb taxmin qilish mumkin emas. (1) tenglamaning o'ng tomoniga faqat o'tmishda olingan faol bilimlar ta'sir qiladi, muammolarni hal qilishda qo'llaniladi va ko'nikmalarga aylanadi. E'tibor bering, (1)-(2) modelni shunday vaqt oralig'ida ishlatish mantiqan to'g'ri keladi, masalan, besh daqiqani cheksiz kichik qiymat deb hisoblash mumkin.
Har birida [0,1] segmentidan funksiya qiymatini tanlash orqali o‘quv jarayonini boshqarishingiz mumkin . Keling, ikkita vazifani ko'rib chiqaylik.
1. Berilgan bilim darajasiga imkon qadar tezroq erishish
va ko'nikmalar ? Boshqacha qilib aytganda, qanday qilib ketish kerak
faza tekisligi nuqtalari aynan ?
2. Berilgan bilim miqdoriga tezda qanday erishish mumkin, ya'ni. to'g'ri boringmi ? Ikki tomonlama vazifa ma'lum bir vaqt ichida imkon qadar ko'proq bilimga erishishdir. Ikkinchi masala uchun optimal harakat traektoriyalari va uning ikki tomonlama mos kelishi (ikkilik matematik dasturlash uchun odatiy ma'noda tushuniladi)
O'zgaruvchilarning o'zgarishi yordamida biz (1) - (2) tizimdan noma'lum koeffitsientlarni o'z ichiga olmaydigan oddiyroq differentsial tenglamalar tizimiga o'tamiz:
(3)
O'zgaruvchilarning tavsiflangan chiziqli o'zgarishi har bir talaba uchun har xil bo'lgan bilim va ko'nikmalarning boshqa o'lchov birliklariga o'tishga tengdir.
1 va 2-masalalarning yechimlari, ya'ni. nazorat qilishning eng yaxshi shakli hisoblanadi
optimal boshqarishning matematik usullarini qo'llash, ya'ni L.S.ning maksimal printsipidan foydalanish. Pontryagin.