Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Topologiya va tartib qoidalari

Har qanday tartib sonini a ga yasash mumkin topologik makon bilan qo'shib buyurtma topologiyasi; bu topologiya diskret agar va faqat tartib soni hisoblanadigan kardinal bo'lsa, ya'ni ko'pi bilan ω bo'lsa. $ Delta + 1 $ kichik to'plami tartib topologiyasida ochiq, agar u bo'lsa ham kofinit yoki u element sifatida ω ni o'z ichiga olmaydi.
Ga qarang Topologiya va tartib qoidalari "Buyurtma topologiyasi" maqolasining bo'limi.

Pastga yopiq tartibli to'plamlar

To'plam pastga yopiq agar to'plam elementidan kamroq narsa ham to'plamda bo'lsa. Agar tartiblar to'plami pastga qarab yopilgan bo'lsa, u holda bu tartib tartibda bo'ladi - to'plamda bo'lmagan eng kichik tartib.
Misollar:

• 
  3 dan kichik tartiblar to'plami 3 = {0, 1, 2}, eng kichik tartib 3 dan kam emas.
  
• 
  Sonli tartiblar to'plami cheksiz, eng kichik cheksiz tartib: ω.
  
• 
  Hisoblanadigan tartiblar to'plami sanoqsiz, eng kichik sanoqsiz tartib: ω₁.
  

Tarix

Birinchi marta 1883 yilda paydo bo'lgan transfinite tartib raqamlari,^[9] Kantorning ishida paydo bo'lgan olingan to'plamlar. Agar P bu haqiqiy sonlar to'plami, olingan to'plam P ' ning to'plami chegara punktlari ning P. 1872 yilda Kantor to'plamlarni yaratdi P⁽ⁿ⁾ olingan operatsiyani qo'llash orqali n marta P. 1880 yilda u ushbu to'plamlar ketma-ketlikni tashkil etishini ta'kidladi P '⊇ ··· ⊇ P⁽ⁿ⁾ ⊇ P^(n + 1) ⊇ ···, va u derivatsiya jarayonini aniqlab davom ettirdi P^(∞) ushbu to'plamlarning kesishishi sifatida. Keyin u to'plamlarning ketma-ketligini cheksiz kengaytirish uchun olingan to'plam operatsiyasini va kesishmalarini takrorladi: P^(∞) ⊇ P^(∞ + 1) ⊇ P^(∞ + 2) ⊇ ··· ⊇ P^(2∞) ⊇ ··· ⊇ P^(∞2) ⊇ ···.^[10] ∞ ni o'z ichiga olgan yuqori belgilar faqat derivatsiya jarayoni bilan belgilangan indekslardir.^[11]
Kantor ushbu to'plamlardan teoremalarda foydalangan: (1) Agar P^(a) A indekslari uchun = =, keyin P ' hisoblash mumkin; (2) Aksincha, agar P ' hisoblash mumkin, keyin $ a $ ko'rsatkichi mavjud P^(a) = ∅. Ushbu teoremalar bo'linish orqali isbotlangan P ' ichiga juftlik bilan ajratish to'plamlar: P ' = (P '∖ P⁽²⁾) ∪ (P⁽²⁾ ∖ P⁽³⁾) ∪ ··· ∪ (P^(∞) ∖ P^(∞ + 1)) ∪ ··· ∪ P^(a). B uchun P^{(β + 1)} ning chegara nuqtalarini o'z ichiga oladi P^(β), to'plamlar P^(β) ∖ P^{(β + 1)} cheklov nuqtalari yo'q. Shuning uchun ular diskret to'plamlar, shuning uchun ular hisoblash mumkin. Birinchi teoremaning isboti: Agar P^(a) A indekslari uchun = =, keyin P ' hisoblanadigan to'plamlarning hisoblanadigan birlashmasi. Shuning uchun, P ' hisoblash mumkin.^[12]
Ikkinchi teorema a ning mavjudligini isbotlashni talab qiladi P^(a) = ∅. Buni isbotlash uchun Kantor ko'p sonli o'tmishdoshlarga ega bo'lgan barcha a ning to'plamini ko'rib chiqdi. Ushbu to'plamni aniqlash uchun u transfinit tartib sonlarini aniqladi va cheksiz indekslarni birinchi transfinit tartib sonini ω ga ω bilan almashtirish orqali tartiblarga o'zgartirdi. Kantor cheklangan ordinallar to'plamini birinchi deb atadi raqamlar sinfi. Ikkinchi sonlar klassi - oldingilari son-sanoqsiz to'plamni tashkil etadigan tartiblar to'plami. Oldingi ko'p sonli barcha a ning yig'indisi, ya'ni hisoblanadigan ordinallar to'plami - bu ikki sonli sinflarning birlashishi. Kantor ikkinchi raqamlar sinfining kardinalligi birinchi hisoblanmaydigan kardinallik ekanligini isbotladi.^[13]
Kantorning ikkinchi teoremasi quyidagicha bo'ladi: Agar P ' hisoblanadigan, keyin shunday hisoblanadigan tartibli a mavjud P^(a) = ∅. Uning isboti foydalanadi ziddiyat bilan isbot. Ruxsat bering P ' hisoblash mumkin va bunday a mavjud emas deb taxmin qiling. Ushbu taxmin ikkita holatni keltirib chiqaradi.

• 
  1-holat: P^(β) ∖ P^{(β + 1)} barcha hisoblanadigan β uchun bo'sh emas. Ushbu juftlikdagi ajratilgan to'plamlarning soni juda ko'p bo'lganligi sababli, ularning birlashishi hisoblanmaydi. Ushbu birlashma P ', shuning uchun P ' hisoblash mumkin emas.
  
• 
  2-holat: P^(β) ∖ P^{(β + 1)} ba'zi bir hisoblash uchun bo'sh is. Beri P^{(β + 1)} ⊆ P^(β), bu shuni anglatadi P^{(β + 1)} = P^(β). Shunday qilib, P^(β) a mukammal to'plam, shuning uchun uni hisoblash mumkin emas.^[14] Beri P^(β) ⊆ P ', to'plam P ' hisoblash mumkin emas.
  

Ikkala holatda ham P ' hisoblash mumkin emas, bu zid P ' hisoblash mumkin. Shunday qilib, shunday hisoblanadigan tartibli a bor P^(a) = ∅. Kantorning olingan to'plamlar va tartib sonlar bilan ishlashi Kantor-Bendikson teoremasi.^[15]
Kantor vorislar, chegaralar va muhimlikdan foydalanib tartib sonlari va sonlar sinflarining cheksiz ketma-ketligini yaratdi.^[16] (A + 1) - sonlar klassi - oldingi raqamlar a-sonli sinf bilan bir xil kardinallik to'plamini tashkil etadigan tartiblar to'plami. (A + 1) - sonlar sinfining kardinalligi bu a - sonlar sinfidan keyin darhol kardinallikdir.^[17] A chegara tartibli a uchun a-chi sonlar sinfi b [18] Uning asosiy kuchi - bu raqamlar sinflarining asosiy xususiyatlarining chegarasi.
Agar n sonli, the n- raqamlar sinfi asosiy xususiyatga ega  . Agar a ≥ ω bo'lsa, a-chi raqamlar sinfi kardinallikka ega  .^[19] Shuning uchun, raqamlar sinflarining tub mohiyati bir-biriga mos keladi alef raqamlari. Shuningdek, a-chi sonlar klassi oldingi sonlar sinflaridan farq qiladigan tartiblardan iborat bo'lib, agar a cheksiz tartib bo'lsa. Shuning uchun, sonlar sonining chegarasiz tartiblari juft tartibda ajratilgan to'plamlarga bo'linadi.