Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Ordinal sinflarini indekslash

Har qanday yaxshi tartiblangan to'plam noyob tartib raqamiga o'xshash (tartib-izomorfik)  ; boshqacha qilib aytganda, uning elementlari tartib darajasidan kamroq ortib borayotgan modada indekslanishi mumkin  . Bu, xususan, har qanday ordinallar to'plamiga taalluqlidir: har qanday ordinallar to'plami tabiiy ravishda ba'zi biridan kamroq ordinallar tomonidan indekslanadi  . Xuddi shu narsa, biroz o'zgartirilgan holda, uchun sinflar ordinallar (ba'zi xususiyatlar bilan belgilanadigan to'plamni shakllantirish uchun juda katta bo'lgan ordinallar to'plami): ordinallarning har qanday klassi ordinallar tomonidan indekslanishi mumkin (va sinf barcha ordinallar sinfida cheksiz bo'lsa, bu uni qo'yadi barcha tartiblar sinfi bilan sinf-bijection). Shunday qilib  -sinfdagi element ("0-chi" eng kichigi, "1-st" keyingi eng kichigi degan konventsiya bilan va boshqalar) haqida erkin gapirish mumkin. Rasmiy ravishda, ta'rif transfinite induksiyasi bilan:  -sinfning uchinchi elementi aniqlangan (hamma uchun allaqachon belgilangan bo'lsa)  ) dan katta bo'lgan eng kichik element sifatida  - hamma uchun uchinchi element  .
Bu, masalan, chegara tartiblari sinfiga nisbatan qo'llanilishi mumkin: the  - chegara yoki nol bo'lgan uchinchi tartib  (qarang tartibli arifmetik tartib sonini ko'paytirish ta'rifi uchun). Xuddi shunday, o'ylab ko'rish mumkin qo'shimchali ajralmas tartiblar (ikkita kichikroq tartibning yig'indisi bo'lmagan nolinchi tartibni anglatadi): the  -th additively indecomposable order sifatida indekslanadi  . Tartibli sinflarni indeksatsiya qilish uslubi ko'pincha aniq nuqtalar nuqtai nazaridan foydalidir: masalan,  - uchinchi tartib  shu kabi  yozilgan  . Bular "epsilon raqamlari".

Yopiq cheksiz to'plamlar va sinflar

Sinf  ordinallar deyilgan cheksiz, yoki kofinal, har qanday tartib berilganida  bor  yilda  shu kabi  (u holda sinf tegishli sinf bo'lishi kerak, ya'ni to'plam bo'lishi mumkin emas). Bu aytilgan yopiq sinfdagi tartiblar ketma-ketligining chegarasi yana sinfda bo'lganda: yoki ekvivalent ravishda, indeksatsiya (class-) funktsiyasi bo'lganda  uchun ma'noda doimiydir  chegara tartibli,  (the  -sinfdagi navbatdagi tartib) bu ​​barchaning chegarasi  uchun  ; bu ham yopilgan bilan bir xil, ichida topologik ma'nosi, uchun buyurtma topologiyasi (tegishli sinflarda topologiya haqida gaplashmaslik uchun, ushbu tartib bo'yicha topologiya uchun sinfning har qanday tartib bilan kesishishi yopilishini talab qilish mumkin, bu yana tengdir).
Ushbu tartib qoidalari sinflari alohida ahamiyatga ega yopiq va chegarasiz, ba'zan chaqiriladi klublar. Masalan, barcha chegaraviy tartiblar sinfi yopiq va chegarasiz: bu har doim berilgan tartibdan kattaroq chegara ordinatori borligini va chegara tartib chegaralari chegara tartibli ekanligini (agar terminologiya shunday bo'lsa, baxtli haqiqat) umuman ma'noga ega bo'lish uchun!). Qo'shimchani ajratib bo'lmaydigan tartiblar klassi yoki  ordinallar yoki sinf kardinallar, barchasi chegarasiz yopiq; to'plami muntazam ammo kardinallar cheklanmagan, ammo yopiq emas va har qanday cheklangan ordinallar to'plami yopiq, ammo chegaralanmagan.
Agar sinf har bir yopiq chegaralanmagan sinf bilan bo'shashmasdan kesishgan bo'lsa, statsionar bo'ladi. Yopiq cheksiz sinflarning barcha superklasslari statsionar, statsionar sinflar esa chegarasiz, ammo yopiq bo'lmagan statsionar va yopiq chegaralanmagan subklassi bo'lmagan statsionar sinflar mavjud (masalan, hisoblash kofinalligi bilan barcha chegara ordinallari sinfi). Ikki yopiq chegaralanmagan sinflarning kesishishi yopiq va chegarasiz bo'lganligi sababli, statsionar sinf va yopiq chegaralanmagan sinfning kesishishi harakatsizdir. Ammo ikkita statsionar sinflarning kesishishi bo'sh bo'lishi mumkin, masalan. koordinatali ordinallar sinfi ω hisoblanmaydigan koordinatali ordinallar sinfi bilan.
Ushbu ta'riflarni tartib tartiblari (to'g'ri) sinflari uchun shakllantirish o'rniga, ularni ma'lum tartib ostidagi tartiblar to'plami uchun shakllantirish mumkin.  : Limit tartibining kichik to'plami  ostida chegarasiz (yoki kofinal) deb aytiladi  dan kam bo'lgan har qanday tartibni taqdim etdi  to'plamdagi ba'zi tartiblardan kamroq. Umuman olganda, har qanday tartibning kichik qismini chaqirish mumkin  kofinal in  dan kam har bir tartibni taqdim etdi  dan kam yoki teng to'plamdagi ba'zi tartib. Ichki qism ostida yopiq deb aytilgan  agar buyurtma topologiyasi uchun yopiq bo'lsa yilda  , ya'ni to'plamdagi tartib chegaralari to'plamda yoki tengdir  o'zi.