Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Voris va cheklangan tartiblar

Har qanday nolga teng bo'lmagan tartibda minimal element, nol bo'ladi. U maksimal elementga ega bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Masalan, 42 ning maksimal qiymati 41 ga, ω + 6 ning maksimal maximum + 5 qiymatiga ega. Boshqa tomondan, $ p $ maksimal qiymatga ega emas, chunki eng katta tabiiy son yo'q. Agar tartibda maksimal a bo'lsa, u a dan keyingi navbatda bo'ladi va u a deb nomlanadi voris tartibida, ya'ni a ning davomchisi, a + 1 yozilgan. Fon Neumann ordinallarning ta'rifida a ning vorisi hisoblanadi  chunki uning elementlari a va a ning elementlari.^[7]
Nolga teng bo'lmagan tartib emas voris deyiladi chegara tartib. Ushbu atamaning bir asosi shundaki, chegara tartib darajasi bu chegara topologik ma'noda barcha kichik tartiblar (ostida buyurtma topologiyasi).
Qachon  γ limiti bilan indekslangan tartibli indekslangan ketma-ketlik va ketma-ketlik ortib bormoqda, ya'ni  har doim  uning chegara to'plamning eng yuqori chegarasi sifatida aniqlanadi  ya'ni ketma-ketlikning har qanday muddatidan kattaroq eng kichik tartib (u har doim mavjud). Shu ma'noda, chegaraviy tartib barcha kichik tartiblarning chegarasi (o'zi tomonidan indekslangan). To'g'ridan-to'g'ri qo'yadigan bo'lsak, bu kichikroq tartiblar to'plamining supremumidir.
Limit tartibini belgilashning yana bir usuli - $ a $ chegara tartibidir, agar shunday bo'lsa, agar shunday bo'lsa:
$ A $ dan kichik tartib bor va har doim $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ bo'lgan $ bo'lsa, u holda $ phi
Shunday qilib quyidagi ketma-ketlikda:
0, 1, 2,…, ω, ω + 1
ω chegara tartibidir, chunki har qanday kichik tartib (bu misolda tabiiy son) uchun undan kattaroq, ammo baribir ω dan kichik boshqa tartib (tabiiy son) mavjud.
Shunday qilib, har bir tartib yoki nolga teng, yoki voris (aniq belgilangan o'tmishdoshning) yoki chegara. Ushbu farq juda muhimdir, chunki transfiniturs rekursiya bo'yicha ko'plab ta'riflar unga asoslanadi. Ko'pincha, funktsiyani belgilashda F barcha ordinallarda transfinitsiyali rekursiya orqali biri belgilaydi F(0) va F(a + 1) taxmin qilish F(a) aniqlanadi, so'ngra chegara tartiblari uchun bitta aniqlanadi F(δ) ning chegarasi sifatida F(β) hamma uchun β <δ (yoki tartib chegaralari ma'nosida, ilgari tushuntirilganidek, yoki boshqa biron bir chegara tushunchasi uchun, agar F tartib qiymatlarini qabul qilmaydi). Shunday qilib, ta'rifning qiziqarli bosqichi chegara tartiblari emas, balki voris qadamidir. Bunday funktsiyalar (ayniqsa uchun F kamaytirmaslik va tartib qiymatlarini olish) doimiy deb nomlanadi. Oddiy qo'shish, ko'paytirish va darajaga etkazish ularning ikkinchi argumentining funktsiyalari sifatida doimiydir (lekin rekursivsiz belgilanishi mumkin).