Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Ekvivalentlik sinfi sifatida tartibning ta'rifi

Masalan, tartib raqamlarining asl ta'rifi Matematikaning printsipi, yaxshi buyurtma berishning tartib turini shu yaxshi tartibga o'xshash (buyurtma-izomorfik) barcha yaxshi buyurtmalar to'plami sifatida belgilaydi: boshqacha qilib aytganda, tartib raqami chinakam yaxshi tartiblangan to'plamlarning ekvivalentligi sinfidir. Ushbu ta'rifdan voz kechish kerak ZF va tegishli tizimlar aksiomatik to'plam nazariyasi chunki bu ekvivalentlik sinflari to'plamni shakllantirish uchun juda katta. Biroq, ushbu ta'rif hali ham ishlatilishi mumkin tip nazariyasi va Kvinening aksiomatik to'plamlar nazariyasida Yangi fondlar va tegishli tizimlar (bu erda juda hayratlanarli alternativ echim beradi Burali-Forti paradoksi eng katta tartib).

Von Neyman ordinallarning ta'rifi

Shuningdek qarang: Natural sonlarning set-nazariy ta'rifi va Zermelo ordinali

Birinchi bir necha fon Neyman ordinatorlari
0	= { }	= ∅
1	= { 0 }	= {∅}
2	= { 0, 1 }	= { ∅, {∅} }
3	= { 0, 1, 2 }	= { ∅, {∅} , {∅, {∅}} }
4	= { 0, 1, 2, 3 }	= { ∅, {∅} , {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} }

Tartibni an deb belgilashdan ko'ra ekvivalentlik sinfi yaxshi tartiblangan to'plamlardan, bu (kanonik ravishda) sinfni ifodalovchi aniq tartiblangan to'plam sifatida aniqlanadi. Shunday qilib, tartib raqami yaxshi tartiblangan to'plam bo'ladi; va har bir yaxshi tartiblangan to'plam aniq tartib raqamiga tartib-izomorfik bo'ladi.
Yaxshi buyurtma qilingan har bir to'plam uchun  ,  belgilaydi tartib izomorfizmi o'rtasida  ning barcha kichik to'plamlari to'plami  shaklga ega  inklyuziya bilan buyurtma qilingan. Bu tomonidan tavsiya etilgan standart ta'rifga turtki beradi Jon fon Neyman, endi ta'rifi deb ataladi fon Neyman ordinatorlari: "har bir tartib barcha kichik tartiblarning yaxshi tartiblangan to'plamidir." Belgilarda λ = [0, λ).^[7][8] Rasmiy ravishda:
To'plam S tartibli agar va faqat agar S bu qat'iy ravishda a'zolikni va har bir elementni o'rnatish uchun yaxshi buyurtma qilingan S ning ham kichik qismidir S.
Shunday qilib, tabiiy sonlar ushbu ta'rif bo'yicha tartib tartibida bo'ladi. Masalan, 2 4 = {0, 1, 2, 3} elementi va 2 qiymati {0, 1} ga teng va shuning uchun u {0, 1, 2, 3} ning kichik to'plamidir.
Buni ko'rsatishi mumkin transfinite induksiyasi har bir yaxshi tartiblangan to'plam bu tartiblarning aynan biriga buyurtma-izomorfik, ya'ni saqlanadigan tartib mavjud biektiv funktsiya ular orasida.
Bundan tashqari, har bir tartibning elementlari tartib qoidalarining o'zi. Ikkita tartib berilgan S va T, S ning elementidir T agar va faqat agar S a to'g'ri to'plam ning T. Bundan tashqari, ham S ning elementidir T, yoki T ning elementidir Syoki ular tengdir. Shunday qilib, har bir ordinal to'plami butunlay buyurtma qilingan. Bundan tashqari, har bir ordinal to'plami yaxshi buyurtma qilingan. Bu natural sonlarning har bir to'plami yaxshi tartibda bo'lishini umumlashtiradi.
Binobarin, har bir tartib S dan kichikroq tartibli elementlarga ega bo'lgan to'plamdir S. Masalan, har bir tartib tartibining a supremum, to'plamdagi barcha tartiblarning birlashishini olish natijasida olingan tartib. Ushbu birlashma to'plamning o'lchamidan qat'i nazar, mavjud birlashma aksiomasi.
Barcha ordinallar sinfi to'plam emas. Agar u to'plam bo'lsa, uni tartibli va shu tariqa o'ziga zid bo'lgan o'z a'zosi ekanligini ko'rsatish mumkin edi qattiq a'zolik bo'yicha buyurtma. Bu Burali-Forti paradoksi. Barcha ordinallar sinfi har xil "Ord", "ON" yoki "∞" deb nomlanadi.
Tartib cheklangan agar va faqat qarama-qarshi tartib yaxshi tartiblangan bo'lsa, bu uning bo'sh bo'lmagan kichik to'plamlarining har birida bo'lsa maksimal.