Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Rassel paradoksi. R barcha to’plamlar to’plami bo’lsin va bu to’plamlar

o’z-o’zining elementlari bo’lmasin, ya`ni
^{R  {x | x  x}}. U holda ixtiyoriy x

to’plam uchun
x  R 
^{x  x} . Agar x o’rniga R ni qo’ysak, u holda
R  R

bajariladi, faqat va faqat
R  R
da, bu esa ziddiyat.

Kantor paradoksi. P(A) – A to’plamning barcha qism to’plamlari oilasi va

^{P( A)  A}, ya`ni
| P(A) |
 | A |
bo’lsin. Ammo, boshqa tomondan olib

qaraydigan bo’lsak, ixtiyoriy A to’plam uchun
| P(A) |
^{ | A |}. U holda Kantor –

Bernshteyn teoremasiga ko’ra
| P(A) |
 | A |
bo’lishi kerak. Bu esa ixtiyoriy

bo’sh bo’lmagan A to’plamning barcha qism to’plamlari to’plamining quvvati

A to’plamni o’zining quvvatidan katta bo’ladi, teoremaga zid.

4. To’plamlar nazariyasining aksiomatik tizimi 93

Ma`lumki, barcha aksiomatik nazariyalarda avvalo asosiy tushunchalar ta`rifsiz tanlab olinadi va undan keyin bu tushunchalar uchun aksiomalar tuziladi.

To’plamlar nazariyasining asosiy tushunchasi to’plamning o’zidir. To’plam biror ob`yektlarni saralab olish bilan tuziladi, bu ob`yektlar ixtiyoriy tabiatli bo’lishi mumkin. Paradokslarga duch kelmaslik maqsadida to’plamning elementlari tushunchasini birmuncha aniqlashtirish va ba`zi cheklovlar qo’yish mumkin. Masalan, ob`yektlar majmuasini 2 xil turga ajratish mumkin:

1. 
   sinflar;
   
2. 
   to’plamlar, ya`ni boshqa bir sinfning elementi bo’lgan sinflarlar. To’plamlar mantiqiy nuqtay nazardan qadam ba qadam quriladi, masalan,
   

“oldin” munosabati qadamni tartiblaydi. Har bir to’plam ma`lum qadamdan keyin quriladi va keyingina foydalanish mumkin bo’ladi.
Bunday tizim nemis matematigi Ernst Fridrix Ferdinand Sermelo (1871- 1953 yy) tomonidan 1908 yilda ishlab chiqildi va isroillik matematik Abraxam

Adol`f Frenkel (1891-1965 yy) tomonidan kengaytirildi. Hozirda Sermelo – Frenkel aksiomatik tizimi (ZF) deb yuritiladi.
ZF tizimi quyidagi aksiomalardan iborat: