Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

Teorema 2. Ixtiyoriy bo’sh bo’lmagan ^A to‘plamning barcha qism to’plamlaridan iborat to’plam quvvati ^A to‘plam quvvatidan katta bo’ladi.
Isboti: Ushbu teorema ^A bo’sh to’plam bo’lgan holda ham o’rinli. ^{A  }
bo’sh to’plamning barcha qism to’plamlari ^ ko’rinishda bo’ladi, ya’ni quvvati

1 ga teng, shuning bilan birga
  0.

^N natural sonlar to’plamining
M {0;1}
to’plamiga barcha akslantirishlar

to’plamini qaraylik. Bu turdagi har qanday akslantirish har bir natural soniga 0 yoki 1 ni mos qo’yadi va bu moslik cheksiz ketma-ketlikni hosil qiladi:

i₁ ,i₂ ,...i_n ,... _{, bunda}
i_n  0
yoki 1 bo’ladi, ya’ni cheksiz o’nli kasrni ifodalaydi:

^0,i₁ ^,i₂ ^,...i_n ^,.... Shunday qilib, barcha cheksiz kasrlar to’plami ^N natural sonlar to’plamining barcha qism to’plamlari quvvatiga teng bo’ladi. ^N natural sonlar

to’plami quvvatini
N  ₀
deb olsak, u holda barcha cheksiz kasrlar to’plamining

quvvati
^20 ga teng bo’ladi.

Ta’rif 1. Agar ^A to‘plamning quvvati ^N natural sonlar to’plami quvvatidan katta bo’lsa, u holda ^A to‘plam sanoqsiz to’plam deyiladi.
Har bir qism to‘plam Z ga 1, y₂, ... , y_n > binar funktsiyani biyektiv mos qo‘yamiz, y_i elementlar quyidagicha aniqlanadi:


_1,
y_{i }
agar x_i  Z
bo'lsa

_0,
agar x_i  Z
bo'lsa

Natijada quyidagicha 2³ ta binar funktsiyalar to‘plamiga ega bo‘lamiz: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111.

Misol. A={1, 2, 3} to’plamning qism to‘plamlari to‘plami
2^A ={{Ø}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Cheksiz to‘plamlar (masalan to‘g‘ri chiziq, tekislik, … )ni soniga ko’ra taqqoslashda, ularning elementlari soni cheksiz bo’lganligi sababli bu to‘plamlar

tarkibining yanada aniqroq baholari zarur bo’ladi. Ma’lum baholar to‘plamlarning quvvati va ekvivalentligi tushunchalariga asoslanadi.
Ta’rif 2. ^A chekli yoki cheksiz to‘plamlar oilasidan olingan X va Y

to‘plamlar uchun
f : X  Y
biyektsiya mavjud bo‘lsa, u holda X va Y