Ordinal va kardinallar. Kantor teoremasi. Transfinit induksiya. Maksimum prinsipi

1⁰. Hajm aksiomasi: To’plam o’zining elementlari bilan to’liq aniqlanadi. Ikkita to’plam teng deyiladi, faqat va faqat ular bir xil elementlardan tashkil topgan

bo’lsa:
x(x  A  x  B)  A  B.

94 Bob I. To’plamlar nazariyasi

2⁰. Birlashma (yig’indi) aksiomasi: Har qanday A to’plamning barcha elementlari birlashmasi yana to’plam bo’ladi, ya`ni ixtiyoriy A to’plam uchun A

to’plam elementlaridan tuzilgan
^{ А} to’plam mavjud. Agar
^А , u holda

 А {a | biror
b  A

uchun

^{a b}}.

3⁰. Daraja (barcha qism to’plamlar to’plami) aksiomasi: Ixtiyoriy A

to’plamning barcha qism to’plamlari jamlanmasi yana to’plam hosil qiladi.
^А , u

holda
P( A) {B | B  A}_.
4⁰. O’rniga qo’yish (almashtirish) aksiomasi: A da aniqlangan har bir A

to’plam va f funktsiya uchun
x  A
bo’lganda
f (x)
ob`yektlarni saqlovchi to’plam

mavjud:
B {y | x  A va
^{y  f (x)}}.

5^0. Regulyarlik aksiomasi: agar A to’plamdagi har bir to’plam minimal elementga ega bo’lsa, u holda A to’plamga regulyar to’plam deyiladi.

Har qanday bo’sh bo’lmagan A to’plam ega va bu element minimaldir.
a  A  
bo’lgan
a  A
elementga

Bu aksiomani boshqacha talqin qilish ham mumkin: Cheksiz kamayuvchi

to’plamlar ketma-ketligi
^{a1  a2  ...} mavjud emas.

6⁰. Cheksizlik aksiomasi: Hech bo‘lmaganda bitta cheksiz to‘plam natural

sonlar qatori mavjud, ya`ni
N {0;1;2;...;n;...}_{, bunda}
0  ,
n 1  n {n}.

7⁰. Ajratish aksiomasi: ixtiyoriy
a  A
da F(x) tasdiq yo rost, yoki yolg’on

bo’lgan ixtiyoriy A to’plam va F xossa berilgan bo’lsin. U holda A to’plamning F

rost bo’lgan elementlaridan tashkil topgan mavjud.
B {a | a  A va
F(a) 1}
to’plam

4. To’plamlar nazariyasining aksiomatik tizimi 95

Aksioma nomlanishi shuni bildiradiki, biz A to’plamning barcha elementlari

orasidan F(x) ni qanoatlantiruvchi
a  A
elementlarni ajratyapmiz.

Ba`zan ajratish aksiomasi o’rniga aksiomalar tizimiga quyidagi ikkita aksioma qo’shiladi:

1. 
   Bo’sh to’plamning mavjudligi aksiomasi ^ .
   

2. 
   To’plamlar juftligining mavjudligi aksiomasi: agar
   

{A, B}.
^A va
^B , u holda

Ushbu ikkita aksiomani keltirilgan 7 ta aksiomadan oson keltirib chiqarish

mumkin. Masalan,
  x | x  x.
Cheksizlik aksiomasiga asosan biror bir A

to’plam berilgan bo’lsin. U holda
  x | x  x, x  A.
^{x(x  x  x  A}} va ajratish aksiomasiga ko’ra

To’plamlar nazariyasining aksiomalar tizimi to’liq bo’lishi, ya`ni barcha ma`lum matematik mulohazalarni qamrab olishi uchun ZF aksiomalar tizimiga bir-biriga raqib bo’lgan ikkita aksiomadan birini kiritish zarur. Bular AC (axiom of choice) tanlash aksiomasi va AD (axiom of determinateness) ixchamlash aksiomasidir. Tanlash aksiomasi qo’shilgan ZF aksiomalar tizimiga ZFC aksiomalar tizimi deyiladi.
Tanlash aksiomasi 1904 yilda Sermelo tomonidan taklif qilingan.

Aytaylik, har bir
x  X
uchun
A_x  
to’plam berilgan bo’lsin. ^A_x

to’plamdan qandaydir
y  A_x
elementni tanlab, barcha
x  X
uchun
f (x)  A_x

funktsiyani hosil qilamiz, bunda deyiladi.
f (x)  y
bo’ladi. Bu tanlash funktsiyasi

96 Bob I. To’plamlar nazariyasi

Tanlash aksiomasi. Bo’sh bo’lmagan har qanday to’plamlar oilasi ^A_x

uchun tanlash funktsiyasi mavjud, ya`ni
A_x  
f : P( A_x )  A_{x , bunda}

X  A_x , X  
uchun
f ( X )  X _.

Ixchamlash aksiomasini 1962 yilda Miychelskiy va Gyugo Dionisiy Shteyngauz (1887-1972 yy)lar taklif qilishgan.

Ixchamlash aksiomasi. Har qanday
A  I
to’plam ixchamlangan bo’ladi.

Bu yerda I to’plam Ber fazosi (natural sonlarning barcha cheksiz ketma-ketliklari to’plami) deyiladi. Rene Lui Ber (1874-1932 yy) frantsiz matemati.

Nazorat uchun savollar:

1. 
   Paradoks nima?
   
2. 
   Rassel paradoksini tushuntiring.
   
3. 
   Kantor paradoksini ayting.
   
4. 
   Hajm aksiomasi qanday ta’riflanadi?
   
5. 
   Birlashma (yig’indi) aksiomasini keltiring.
   
6. 
   Daraja (barcha qism to’plamlar to’plami) aksiomasi.
   
7. 
   O’rniga qo’yish (almashtirish) aksiomasini ayting.
   
8. 
   Regulyarlik aksiomasi qanday ta’riflanadi?
   
9. 
   Cheksizlik aksiomasini keltiring.
   
10. 
    Ajratish aksiomasini keltiring.
    
11. 
    To’plamlar nazariyasining aksiomatik tizimi asoschilarini ayting.
    

https://forany.xyz/a-344?pg=10#0

Bul algebrasi. Ushbu bobning 4- paragrafida mulohazalar algebrasidagi asosiy teng kuchliliklarni ko’rib o’tgan edik. Endi bu teng kuchliliklardan foydalanib, mantiq fanini formallashtirgan va matematik mantiqning aksiomalar sistemasini yaratgan ingliz olimi Jorj Bul (kitobning kirish qismiga va I bobning 2- paragrafiga qarang) nomi bilan ataladigan algebrani o‘rganamiz.
Mulohazalar algebrasida (1)
teng kuchlilik o‘rinli bo‘lishi o‘rganilgan edi. Mulohazalar algebrasining asosiy teng kuchliliklari tarkibiga kiruvchi
, (2)
, (3)
, (4)
, (5)
, (6)
, (7)
teng kuchliliklar esa mantiq algebrasida kon’yunksiya va diz’yunksiya amallariga nisbatan kommutativlik va assotsiativlik qonunlari hamda diz’yunksiyaga nisbatan kon’yunksiya va kon’yunksiyaga nisbatan diz’yunksiyaning distributivlik qonuni o’rinli bo’lishini bildiradi.
Ma’lumki, sonlar algebrasida kon’yunksiyaga nisbatan diz’yunksiyaning distributivlik qonuni o‘rinli emas, yuqorida ifodalangan boshqa barcha qonunlar esa amal qiladi. Shuning uchun mantiq algebrasi formulalari ustida xuddi sonlar algebrasi formulalari ustidagi kabi (kon’yunksiyaga nisbatan diz’yunksiyaning distributivlik qonuni ham o‘rinliligini e’tiborga olgan holda) qavslarni ochish, qavslarga olish, umumiy ko’paytuvchini yoki qo‘shiluvchini qavslardan tashqariga chiqarish amallarini bajarish mumkin.
Bundan tashqari, mantiq algebrasida, sonlar algebrasidan farqli o’laroq,
, (8)
, (9)

teng kuchliliklarga asoslangan almashtirishlarni ham bajarish mumkin. Bu holat turli yo’nalishlardagi umumlashtirishlarni bajarish imkonini beradi. Masalan, quyidagi umumlashtirishni keltirish mumkin.
Bo‘sh bo‘lmagan to’plamda “=” (tenglik) tushunchasi hamda ikkita binar “+” (qo’shish), “ ” (ko’paytirish) va bitta unar “ ” (inkor) amallari aniqlangan bo’lsin. Bundan tashqari, bu to’plamda 0 va 1 qiymatlar aniqlangan va ixtiyoriy tabiatli , va elementlar uchun quyidagi aksiomalar bajarilsin:
– kommutativlik qonunlari: , ;
– assotsiativlik qonunlari: , ;
– distributivlik qonunlari: , ;
– idempotentlik qonunlari:
, (10)
, (11)
, (12)
; (13)
– inkorni inkor qilish qonuni: (1);
– de Morgan qonunlari: , ;
– yutilish qonunlari: , .