Transfinite rekursiya transfinite induksiyasiga o'xshaydi; ammo, hamma tartib raqamlar uchun biron bir narsa borligini isbotlash o'rniga, biz har bir tartib uchun bittadan ob'ektlar ketma-ketligini tuzamiz.
Masalan, (cheksiz o'lchovli) uchun asos vektor maydoni vektor tanlash orqali yaratilishi mumkin va har bir tartibli a uchun ichida bo'lmagan vektorni tanlash oraliq vektorlarning . Ushbu jarayon hech qanday vektor tanlab bo'lmaganda to'xtaydi.
Rasmiy ravishda biz Transfinite Recursion teoremasini quyidagicha bayon qilishimiz mumkin:
Transfinite Recursion teoremasi (1-versiya). Sinf funktsiyasi berilgan[2]G: V → V (qayerda V bo'ladi sinf barcha to'plamlardan), noyob mavjud transfinite ketma-ketlik F: Ord → V (bu erda Ord barcha ordinallar sinfi) shunday
F(a) = G(F a) barcha tartib qoidalar uchun a, bu erda ning cheklanishini bildiradi F 's domenini ordinallarga Induksiyada bo'lgani kabi, biz ham turli xil ordinal turlarini alohida ko'rib chiqishimiz mumkin: transfinitsiy rekursiyaning yana bir formulasi quyidagicha:
Transfinite Recursion teoremasi (2-versiya). To'plam berilgan g1va sinf funktsiyalari G2, G3, noyob funktsiya mavjud F: Ord → V shu kabi
F(0) = g1,
F(a + 1) = G2(F(a)), hamma a ∈ Ord uchun,
F(λ) = G3(F λ), barcha chegara uchun limit limit 0.
Ning domenlarini talab qilishimizga e'tibor bering G2, G3 yuqoridagi xususiyatlarni mazmunli qilish uchun etarlicha keng bo'lishi. Ushbu xususiyatlarni qondiradigan ketma-ketlikning o'ziga xosligini transfinite induksiya yordamida isbotlash mumkin.
Umuman olganda, ob'ektlarni har qanday narsada transfinitursiya orqali aniqlash mumkin asosli munosabat R. (R to'plam ham bo'lishi shart emas; bo'lishi mumkin tegishli sinf, agar u o'xshash munosabat; ya'ni har qanday kishi uchun x, barchaning to'plami y shu kabi yRx to'plamdir.)
