Iqtisodcjilar uchun matematika

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
TOSHKENT MOLIYA INSTITUTI

ANDIJON FAKULTETI
“Moliya va moliyaviytexnalogiya” yo’nalishi
I bosqich SMMT-70-22-guruh talabasi
ERGASHEV MUHAMMAD ALIning
“IQTISODCJILAR UCHUN MATEMATIKA” fanidan tayyorlagan mustqil ish
REFERATI

Bajardi: M.Ergashev

Funksiya limiti mavjudligining Koshi alomati

REJA
1.Funksiya limiti ta’riflari.

2. Limitlarni hisoblash yo’llari
3. Коши формуласи
4. Коши интеграли

Funksiya limiti ta’riflari.

funksiya Х to’plamda berilgan bo’lib, a nuqta Х to’plamning limit nuqtasi bo’lsin (umuman aytganda a nuqta Х to’plamga tegishli bo’lishi shart emas).

1 – t a’ r i f. Agar b nuqtaning har qanday  atrofida doimo a nuqtaning shunday δ atrofi topilsaki, unda х argumentning ana shu atrofga tegishli istagan qiymati uchun funksiyaning qiymati b nuqtaning  atrofiga tegishli bo’lsa, х o’zgaruvchi a ga intilganda b son funksiyaning limiti deyiladi va kabi belgilanadi.

Avvalo bu ta’rifning geometrik ma’nosini tekshirib ko’ramiz.

x argumentning barcha qiymatlari funksiyaning tegishli qiymatlariga akslantiriladi. Oy o’qda funksiya qiymatlarini ko’rsatuvchi nuqtalar to’plamini hosil qilamiz. Oy o’qda ordinatasi ga teng nuqtani olamiz. Argumentning biror qiymatiga to’g’ri kelgan b nuqta funksiyaning qiymati bo’lishi mumkin, lekin bu nuqta funksiya qiymatlarining to’plamiga tegishli bo’lmasligi ham mumkin. (10-shakl).



x

0



y
10 – s h a k l.

11 – s h a k l.

12 – s h a k l.
x argument a ga intilganda funksiya uchun b nuqta (son) limit bo’lishi yoki bo’lmasligini aniqlash uchun:
1) b nuqtaning  radiusli atrofini iхtiyoriy ravishda tanlab olish kerak, bunda  istagan ( shu jumladan, istagancha kichik) musbat son (10-shakl) va
2) a nuqta atrofining shunday δ radiusini izlab topish kerakki, argumentning δ atrofiga tushgan hamma qiymatlari funksiyaning  atrofiga albatta tushadigan qiymatlarini (balki qiymatdan boshqa qiymatlarini) aniqlaydigan bo’lsin. (11-shakl).
Qisqacha aytganda, a nuqtaning δ atrofidagi argumentning hamma qiymatlari b nuqtaning  atrofiga qarashli nuqtalarga aks etiladi (11-shaklda funksiyaning grafigi ko’rsatilmagan).

2 – t a’ r i f. Agar x to’plamning nuqtalaridan tuzilgan a ga yaqinlashuvchi har qanday ketma – ketlik olganda ham, funksiya qiymatlaridan iborat ketma – ketlik yagona (chekli yoki cheksiz) b limitga intilsa, shu b ga funksiyaning a nuqtadagi (х ning a ga intilgandagi) limiti deyiladi va kabi belgilanadi.
Shuni ham esda tutish zarurki, argument qiymatlaridan iborat to’plamning limit nuqtasi a dir, demak, u shu to’plamga tegishli yoki tegishli bo’lmasligi mumkin; birinchi holda mavjud, ya’ni ma’noga ega, ikkinchi holda esa ma’noga ega emasdir.

Funksiya limitiga berilgan bu ta’rif Geyne ta’rifi deyiladi.

Eslatma. Agar a ga intiluvchi ikkita va ketma – ketliklar olinganda mos va ketma – ketliklarning limiti turlicha bo’lsa, u holda funksiya da limitga ega bo’lmaydi.



3 – t a’ r i f. Agar son uchun shunday δ()>0 son topilsaki, argument х ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, b son funksiyaning a nuqtada limiti deyiladi va kabi belgilanadi. Funksiya limitiga berilgan bu ta’rif Koshi yoki “– δ ” ta’rifi deyiladi.

Agar da bo’lsa, u holda funksiyaning grafigida bu quyidagicha tasvirlanadi (12-shakl) tengsizlikdan tengsizlik chiqar ekan, u holda bu, a nuqtadan δ dan yiroq bo’lmagan masofada turuvchi barcha х nuqtalar uchun funksiya grafigining M nuqtalari va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan, yoki 2 bo’lgan yo’l ichida yotadi.

4 – t a’ r i f. Agar х biror a sondan kichik qiymatlarnigina qabul qilib, shu a songa intilanda funksiya b₁ limitga intilsa, u holda yoziladi va b₁ ga funksiyaning a nuqtadagi chap limiti deyiladi. Agar х faqat a dan katta qiymatlarnigina qabul qilsa, u holda yoziladi va b₂ ga funksiyasining a nuqtadagi o’ng limiti deyiladi. (13-shakl)



y


13 – s h a k l.
Agar o’ng limit va chap limit mavjud va teng, ya’ni b₁=b₂=b bo’lsa, u holda b, limitning yuqorida berilgan ma’nosida a nuqtadagi limitning o’zi bo’lishini isbotlash mumkin.
Funksiyaning o’ng va chap limitlariga uning bir tomonli limitlari deyiladi.

6 – t a’ r i f. (Koshi ta’rifi). Agar son uchun shunday δ>0 son topilsaki, argument х ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, b son funksiyaning a nuqtadagi o’ng (chap) limiti deyiladi va quyidagicha belgilanadi: yoki yoki .

5 – t a’ r i f. (Geyne ta’rifi). Agar Х to’plamning nuqtalaridan tuzilgan, har bir hadi a dan katta (kichik) bo’lib, a ga intiluvchi har qanday ketma – ketlik olinganda ham mos ketma – ketlik yagona b soniga intilsa, shu b son funksiyaning a nuqtadagi o’ng (chap) limiti deyiladi va quyidagicha belgilanadi: yoki yoki .



Teorema. Funksiya limiti uchun berilgan Geyne va Koshi (2- va 3-ta’riflar) ta’riflari o’zaro ekvivalentdir.(Isboti [3], 204-bet).
Biz yuqorida funksiya dagi chekli b limitga ega bo’lishining Koshi ta’rifini (3-ta’rif) keltirdik. bo’lgan holda funksiya limitining Koshi ta’rifi quyidagicha ifodalanadi.