Ostrogradskiy formulasi

n birlik vektorni uning koordinata o’qlaridagi proeksiyalari orqali ifodalaymiz:

F va n vektorlarning proeksiyalari orqali ifodalarini (2) integralga qo’yib mana buni hosil qilamiz:

ko’paytma yuzning Oxy tekislikdagi proeksiyasidir (2.1.2-rasm). Shu kabi muhokama quydagi ko’paytmalar uchun ham to’g’ridir.

bu yerdagi lar yuzning koordinata tekisliklaridagi proeksiyalari.
Bunga asosan (2’) integralni boshqacha shakilda ham yozsa ham bo’ladi:



Egri sirt bo’yicha olingan integralni hisoblash tekis soha bo’yicha olingan ikki o’lchovli integralni hisoblashga keltiriladi.
Masalan, ushbu

integralni hisoblash usulini ko’rsatamiz.
sirt shunday bo’lsinki, Oz o’qqa parallel har qanday to’g’ri chiziq uni bitta nuqtada kesib o’tsin. Bu holda sirtning tenglamasini quydagi shakilda yozish mumkin:

sirtning Oxy tekislikdagi proeksiyasini D bilan belgilasak (sirt integralining ta’rifiga asosan):

So’ngra 2.1-paragrafdagi (2.1.4) formulaning oxirgisini hisobga olib, quydagini hosil qilamiz:



oxirgi ifoda esa funksiyadan D soha bo’yicha olingan ikki o’lchovli integralning integral yig’indisidir. Shuning uchun

Agar bo’lsa, ikki o’lchovli integral oldida plyus ishora, agar bo’lsa, minus ishora olinadi.
Agar sirt shu paragrafning boshida ko’rsatilgan shartni qanoatlantirmasa, sirtni shu shartni qanoatlantiradigan qismlarga bo’linadi va har bir qism bo’yicha ayrim integral olinadi.
Ushbu

integrallar ham shuning singari hisoblanadi.
Qilgan isbotimiz, sirt integralini 2.1-panarafdagi (2.1.2’’) shakilda yozishning to’g’ri ekanligini tasdiqlaydi.
Bunda (2.1.2’’) tenglikning o’ng tamonini sohaning mos proeksiyalari bo’yicha olingan ikki o’lchovli integralning yig’indisi deb qarash mumkin, bu yerda ikki o’lchovli integralning ishoralarini (yoki boshqacha aytganda ko’paytmalarning ishoralari) yuqorida ko’rsatilgan qoidaga muvofiq olinadi.
1-misol. yopiq sirt shunday bo’lsinki, Oz o’qqa parallel har qanday to’g’ri chiziq uni ikkitadan ortiq nuqtada kesmasin.
Ushbu

integralni qaraymiz. Normalning musbat yo’nalishi deb tashqi normalni hisoblaymiz. Bu holda sirtni tenglamalari quydagicha bo’lgan

ikkita ostki va ustki qismga bo’lish mumkin.

2.2.1-rasm
sirtning Oxy tekislikdagi proeksiyasini D bilan belgilaymiz ( 2.2.1-rasm); u holda

sirt uchun manfiy bo’lganidan bu sirt bo’yicha olingan sirt integralidagi ko’paytmaning ishorasi manfiy bo’ladi; shunga ko’ra ikkinchi integral oldidagi ishora ham manfiy bo’ladi.
Biroq, so’ngi formulaning o’ng tamonidagi integrallarning ayirmasi, sirt bilan chegaralangan hajmni beradi. Demak, yopiq sirt bilan chegaralangan jismning hajmi, sirt bo’yicha olingan:

integralga tengdir.
2-misol. Koordinatalar boshiga joylashtirilgan e musbat elektir zaryadi vector maydon hosil qiladi, fazoning har bir nuqtasida vector F kulon qonuni bo’yicha aniqlanadi:

bunda r-koordinatalar boshidan qaralayotgan nuqtagacha bo’lgan masofa; m-berilgan nuqtaning radus vektori boyicha yo’nalgan birlik vector (2.2.2-rasm); k-o’zgarmas koeffitsent. Markazi koordinatalar boshida bo’lgan R radusli sfera orqali o’tuvchi vector maydonning oqimi aniqlansin.

2.2.2-rasm
Yechim. r=R =const ekanligini etiborga olib, ushbuni hosil qilamiz:

Biroq, so’ngi integral sirtning yuzasiga teng. Haqiqatdan, integralning ta’rifiga asosan ( ekanligini hisobga olinsa):

Demak, oqim:


Oz o’qqa parallel bo’lgan har qanday to’g’ri chiziq bitta nuqtada kesadigan sirt berilgan bo’lsin. sirtning chegarasini bilan belgilaymiz. normalning musbat yo’nalishini o’qning musbat yo’nalishi bilan o’tkir burchak tashkil etadigan qilib olamiz (2.3.1-rasm).

2.3.1-rasm
Sirtning tenglamasi bo’lsin. Normalning yo’naltiuvchi kosinuslari shu formulalar bilan ifodalanadi:

sirt o’zining hamma nuqtalari bilan biror V sohada yotadi deb faraz qilamiz. V sohada uzluksiz funksiya birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birga berilgan bo’lsin. egri chiziq bo’yicha olingan

egri chiziqli integralni tekshiramiz.
chiziqda bunda chiziqning tekislikdagi L proeksiyasi nuqtalarining koordinatalari (16-rasm). Demak, quydagi tenglikni yozishimiz mumkin:

So’ngi integral L chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integraldir. Bu interalni,

faraz qilib, Grin formulasi bo’yicha almashtiranmiz.
Grin formulsidagi va orniga ularning ifodalarini qo’ysak:

bunda D soha Lchiziq bilan chegaralangan. murakkab funksiya hosilsiga asosan (bunda -bevosita va funksiya orqali kiradi) quydagi tenglikni topamiz:

(4) ifodani (3) tenglikning chap tamoniga qo’ysak:

1. 
   Tenglikni nazarga olib, so’nggi tenglikni quydagicha yozish mumkin:
   

Oxirgi ikkita integral sirt bo’yicha olingan integralga almashtiriladi. Haqiqatdan, 2.1-paragrafdagi (2.1.2’’) formulaga asosan biror funksiya berilgan bo’lsa, quydagi tenglikning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi:

Bu tenglikka asosan, (2.3.5) tenglikning o’ng tamonidagi integrallar quydagicha almashinadi:

Oxirgi integralni shu paragrafdagi (2.3.1) formula yordami bilan, formulalardan ikkinchisini uchinchisiga hadlab bo’lib, quydagini hosil qilamiz:

yoki

Demak,

(2.3.6) va (2.3.7) ifodalarni (2.3.5) tenglikka qo’ysak:

kontur bo’yicha aylanishning yo’nalishi normalning tanlangan musbat yo’nalishi bilan mos bo’lishi kerak. Ya’ni, kuzatuvchi normalning oxirgi uchidan qarasa, u vaqtda egri chiziq bo’yicha aylanish soat strelkasiga teskari yo’nalishda ko’rinishi kerak.
Tenglamalari ko’rinishda bo’ladigan qismlarga bo’lish mumkin bo’lgan har qanday sirt uchun (2.3.8) formula o’rinlidir.
Shunga o’xshash quydagi formulalarni ham yozish mumkin:


(2.3.8), (2.3.8’), va (2.3.8’’) tengliklarning chap va o’ng tamonlarni qo’ysak:


Bu formula inliz fizigi va matematigi J. Stoks (1819-1903) nomi bilan Stoks formulasi deb ataladi. Bu formula sirt bo’yicha olingan integral bilan shu sirtning chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integral orasidagi munosabatni aniqlaydi, bunda egri chiziq boyicha aylanib chiqish yo’nalishi yuqorida ko’rsatilgan qoidaga asosan olinadi. Ushbu :

proeksiyalari bilan aniqlanadigan vektor, vektor funksiyasining uyurmasi yoki rotori deb ataladi va rotF simvol bilan belgilanadi (rot-fransuscha rotation ,,aylanish’’ degan so’zning birinchi uchta harfi bo’lib, ,,aylanish’’ ma’nosini anglatadi).
Demak, (2.3.9) formula vektor shaklda

ko’rinishida bo’ladi va Stoks teoremasi quydagicha ifoda etiladi: