O’tish chizig’i noxarakteristik bo’lgan sohada uchinchi tartibli parabolik-giperbolik tenglama uchun chegaraviy masala

O’tish chizig’i noxarakteristik bo’lgan sohada uchinchi tartibli parabolik-giperbolik tenglama uchun chegaraviy masala.
1§. Masalaning qo’yilishi.
Ushbu

sohada
(1)
tenglama uchun quyidagi masalani qaraymiz:
D_c masala. Quyidagi shartlarni bajaruvchi funksiya aniqlansin:

1. 
   -yopiq sohada uzluksiz;
   
2. 
   bo’lganda sohada (1) tenglamaning regulyar yechimi;
   
3. 
   quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;
   

(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

4. 
   kesmada quyidagi ulash shartlarini bajaradi:
   

(7)
(8)
Bu yerda to’g’ri chiziqlardagi kesmalar hamda tenglmaning nuqtada kesuvchi xarakteristikalari bilan chegaralangan soha,

kesmaga ichki normal yetarlicha differensiallanuvchi aniqlangan funksiyalar, va funksiyalar hozircha noma`lum, va haqiqiy sonlar, .
1§. D_c-masalaning maqsadi.
Quyidagicha belgilash kiritamiz:
(9)

1. 
   tenglamani o’ng tomoni noma’lum bo’lgan 2-tartibli tenglamaga keltiramiz:
   

bu tenglamani (9) belgilashdan foydalanib va sohalarda quyidagicha yozish mumkin:
(10)
(11)
bu yerda hozircha aniqlanmagan funksiyalar va .
Dastlab sohada (11) tenglamani qaraymiz. (11) tenglamaning (7) va (8) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini quyidagi ko’rinishda yozamiz:
(12)
bu yerda Bessel funksiyalari,


belgilashlar kiritsak (12) yechimni quyidagicha yozish mumkin:
(12`)
(12) yoki (12`) yechim (11) tenglamani qanoatlantirishini tekshiramiz. Buning uchun funksiya va uning va bo’yicha 2-tartibli hosilalarini topib (11) tenglamaga qo’yilganda tenglama to’g’ri tenglikka aylanishi kerak:





yoki

Yuqoridagi hisoblab topilganlardan Bessel funksiyalarining xossalaridan doydalangan holda quyidagilarni topamiz:

Endi (12`)ni – c ga ko’paytirib yuqoridagi ifodaga qo’ysak (11) tenglamani hosil qilamiz.
Demak (12) yoki (12`) yechim (11) tenglamani qanoatlantirar ekan.
(12`) yechimni (6) shart bilan qanoatlantiramiz. Buning uchun funksiyadan va lar bo’yicha 1-tartibli hosilalar kerak bo’ladi. Yuqorida hisoblangan va larning va lar bo’yicha 1-tartibli hosilalaridan foydalanamiz:
(13)
(14)
(13) va (14) lardan foydalanib, (6) shartni qanoatlantirsak quyidagilarga ega bo’lamiz:
(15)
(15) tenglamada noma’lumlar soni uchta, ulardan birini, ya’ni ni topish uchun bu tenglamaning o’zi yetarli emas. Shuning uchun shunday 2-tenglamani hosil qilishimiz kerakki, hosil qilingan tenglama bilan (15) tenglama birgalikda bo’lsin, hamda tenglamalar sistemasini yechish orqali aniqlangan ma’lum funksiyalar orqali ifodalansin.
Buning uchun (12`) ni (15) shart bilan qanoatlantirib, ba’zi alamashtirishlardan so’ng hosil bo’lgan tenglikni ga ko’paytirib quyidagi ko’rinishda yozamiz:
(16)
(15) tenglikdan bir marta hosila olib, ba’zi almashtirishlar va hisoblashlarni bajarib, quyidagi ko’rinishda yozamiz:
(17)

(16) ni (17) ga qo’shsak

yoki bu tenglikni har ikkala tomonini ga ko’paytirib, ni bilan almashtirsak, quyidagini hosil qilamiz:
(18)
(18) dan foydalanib, (16) tenglikni quyidagicha yozamiz:
(19)
bu yerda

(19) tenglikda ba’zi almashtirishlarni bajarib, ma’lum formulalardan foydalangan holda bu tenglikni quyidagi ko’rinishga keltiramiz:
(20)
bu yerda

Endi sohada (10) tenglamani qaraymiz. Bu tenglamani quyidagicha almashtirish asosida soddalashtiramiz:
(21)
u holda quyidagilarga ega bo’lamiz:

Topilgan va uning hosilalarini (10) tenglamaga qo’yib, ushbu
(21)
tenglamani hosil qilamiz, bu yerda

(21) belgilash natijasida (2),(3),(4) va (7),(8) shartlar ham (22) tenglamaga mos holda quyidagi ko’rinishni oladi:
(23)

(24)
(25)
(26)
(22) tenglamaning (2),(23),(25) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi quyidagicha ko’rinishda yoziladi:
(27)
(27) ni x bo’yicha differensiallaymiz:
(28)
(28) tenglikda hisoblashni soddalashtirish va aniqlik uchun o’ng tomondagi integral qo’shiluvchilarni alohida-alohida ajratib, bo’laklab integrallab hisoblaymiz:





Hisoblab topilgan va larni (28) ga qo’yib quyidagiga ega bo’lamiz:
(29)
(22) tenglamada bo’lganda
(30)
tenglamaga ega bo’lamiz. (30) ni hisoblabga olgan holda va (29) ni (26) shart asosida yozadigan bo’lsak, u holda (29) quyidagi ko’rinishni oladi:
(31)
(25) va (26) ni hisobga olgan holda (31) ni quyidagicha yozamiz:
(32)
bu yerda

(32) ni quyidagi ko’rinishda yozamiz:
(33)
Endi (20) dan ni hosil qilamiz
(34)
(20) va (34) dagi larning ifodalarini (33) ga qo’yamiz:

Oxirgi tenglamada integrallar ostidagi ifodalarda ayrim almashtirishlarni bajarib, quyidagi holga keltiramiz:

(35) tenglama funksiyaga nisbatan Volterning II-tur integral tenglamasi.
Uni quyidagi ko’rinishda yozamiz:

bu yerda


- yadro kuchsiz maxsuslikka ega,
- uzluksiz funksiya, u holda (36) tenglama yagona yechimga ega bo’ladi.
Uning yechimini quyidagicha yozamiz:

bu yerda yadroning rezolventasi. Qolgan lar orqali topiladi.