O`xshash almashtirish va gomotetiya. Ularning analitik ifodasi. O`xshash almashtirishni gomotetiya va harakat ko`paytmasi sifatida qarash. O`xshash almashtirish gruppasi va uning qism gruppasi. Reja

R^k G₀^1/k = L R^k =L G₀^k
Gomotetiyaning analitik ifodasi.

Tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Markazi koordinatalar boshida k0 koeffitsientli G₀^k gomotetik almashtirish tekislikning ixtiyoriy N(x,y) nuqtasini G^k₀(N)=N'(x',y') nuqtasiga o’tkazsin (71-chizma). Gomotetiya ta’rifiga ko’ra

ON' = kON
bundan
x' = kx;
y' = ky (35.1)
(35.1) formula markazi koordinatalar boshida bo’lgan k koeffitsientli gomotetiyaning analitik ifodasi.
Markazi O'(a,b) nuqtada bo’lgan G₀^k gomotetik almashtirish formulasini chiqaraylik.
Buning uchun (xoy) to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish natijasida hosil bo’lgan (x'o'y') to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasiga e’tibor beraylik. (72-chizma).

Yangi (x'o'y') koordinatalar sistemasida N(X;Y), N'(X';Y') koordinatalarga ega bo’lsin.

G₀^k(N) = N' => O'N' = kON, bundan
X' = kX;
Y' = kY. (35.2)
Parallel ko’chirish formulasidan foydalansak
X = x+a; X'=x'+a
Y =y+b; Y' = y'+b (35.3 )
(35.2) va (35.3) lardan foydalanib,
x' = kx + a(k-1);
y' = ky + b(k-1) (35.4)
Bu formula markazi O' nuqtada k koeffitsientli gomotetiyaning analitik formulasi.
Agar k=1 bo’lsa, (35.4) formulada x'=x; y'=y ayniy almashtirish formulasi hosil bo’ladi.
O’xshash almashtirishning analitik ifodasi.
R^k o’xshash almashtirishning analitik ifodasini topaylik. Yuqoridagi
1-teoremaga ko’ra R^k ni gomotetiya va harakat kompozitsiyasi sifatida qarash mumkin, ya’ni