O`xshash almashtirish va gomotetiya. Ularning analitik ifodasi. O`xshash almashtirishni gomotetiya va harakat ko`paytmasi sifatida qarash. O`xshash almashtirish gruppasi va uning qism gruppasi. Reja

O’xshash almashtirish gruppalari va uning qism gruppalari.

Tekislikdagi barcha o’xshash almashtirishlar to’plamini R orqali belgilaylik. Ixtiyoriy ikkita R^k1, R^k2  R o’xshash almashtirishlarni olaylik. R^k1 o’xshash almashtirish tekislikning ikkita M va N nuqtalarini R^k1(M)=M’, R^k1(N)=N’ nuqtalarga, R^k2 o’xshash almashtirish M', N' nuqtalarni R^k2(M^’) = M",R^k2(N¹) = N" nuqtalarga o’tkazsa, u holda ta’rifga ko’ra

(M',N') = k₁ (M,N)

(M'',N'')=k₂ (M',N') (33.1)

Tekislikdagi R^k1 R^k2 almashtirish M, N nuqtalarni M", N" nuqtalarga o’tkazadi. (33.1) ga ko’ra

(M",N'')=k₁k₂ (M,N) (33.2)

shartni ham qanoatlantiradi. Demak, R^k=R^k2 R^k1 almashtirish k = k₁k₂ koeffitsientli o’xshash almashtirish bo’ladi, demak, R^kR.

Har qanday R^ko’xshash almashtirishga teskari f^-1 almashtirish M', N' nuqtalarni M, N nuqtalarga o’tkazsin, (33.1) dan

(M,N)= (M',N')

bundan f ^-1 almashtirish koeffitsientli o’xshash almashtirish ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib:

1. R^k1, R^k2  R  R^k1 R^k2  R

2. R^k1  R, f^-1 = R^1/k1  R

Demak, R to’plam gruppa tashkil qiladi. Bu gruppani o’xshash almashtirish gruppasi deb aytamiz.

Har bir o’xshash almashtirish burchakni o’ziga teng burchakka o’tkazadi, ya’ni burchak kattaligini o’zgartirmaydi.

O’xshash almashtirishlar R gruppasini qism gruppalari bilan tanishaylik:

Agar k = 1 bo’lsa, u holda o’xshash almashtirish harakat bo’ladi. Harakat gruppasi o’xshash almashtiripshing qism gruppasi bo’ladi.

Barcha gomotetiyalar to’plami ham gruppa tashkil qiladi, bu gruppa o’xshash almashtirish gruppasining qism gruppasi bo’ladi.

Isbotni talabalarga havola qilamiz.