O`xshash almashtirish va gomotetiya. Ularning analitik ifodasi. O`xshash almashtirishni gomotetiya va harakat ko`paytmasi sifatida qarash. O`xshash almashtirish gruppasi va uning qism gruppasi. Reja

O’xshash almashtirish-gomotetiya bilan harakat ko’paytmasi sifatida.

1. Tekislikda R^k o’xshash almashtirish va G₀^K gomotetiya berilgan bo’lsin.

1-teorema. R^k o’xshash almashtirish G₀^k gomotetik almashtirish bilan L harakat ko’paytmasidan iborat.

Isboti. R^k o’xshash almashtirish tekislikning ixtiyoriy ikkita M va N nuqtalarini R^K(M)=M', R^K(N)=N' nuqnalarga o’tkazsa, u holda

(M',N')=k (M,N) (34.1)

Tekislikning biror O nuqtasiga nisbatan gomotetik G₀^k almashtirish M,N nuqtalarni G₀^k(M)=M" G₀^k(N)=N" nuqtalarga o’tkazsin, u holda gomotetiya ta’rifiga ko’ra (70-chizma) bundan,

(M",N'')=k (M,N) (34.2)

(34.1) va (34.2) dan L(M")= M', L(N") = N' ga o’tkazadi (70-chizma).

(M',N') = (M",N'') (34.3)
Demak, R^k=L G₀^k (70-chizma)

G₀^k almashtirishga teskari almashtirish gomotetik almashtirish bo’lib,

G₀^1/k(M'')=M, G₀^1/k(N'')=N

Avval G₀^1/k almashtirishni, songra R^k almashtirishni bajaraylik,(70-chizma)




shu bilan birga (M'',N'') = (M',N'), bundan R^kG₀^1/k ko’paytma harakat ekanini ko’ramiz. Demak, biz quyidagi natijaga ega bo’ldik.

Natija. Tekislikdagi O markazli koeffitsientli gomotetiya bilan k koeffitsientli o’xshash almashtirish kompozitsiyasi harakatdir. Bundan

R^k G₀^1/k = L R^k =L G₀^k

Gomotetiyaning analitik ifodasi.

T ekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin. Markazi koordinatalar boshida k0 koeffitsientli G₀^k gomotetik almashtirish tekislikning ixtiyoriy N(x,y) nuqtasini G^k₀(N)=N'(x',y') nuqtasiga o’tkazsin (71-chizma). Gomotetiya ta’rifiga ko’ra
ON' = kON

bundan

x' = kx;

y' = ky (35.1)

(35.1) formula markazi koordinatalar boshida bo’lgan k koeffitsientli gomotetiyaning analitik ifodasi.

Markazi O'(a,b) nuqtada bo’lgan G₀^k gomotetik almashtirish formulasini chiqaraylik.

Buning uchun (xoy) to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini parallel ko’chirish natijasida hosil bo’lgan (x'o'y') to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasiga e’tibor beraylik. (72-chizma).

Y angi (x'o'y') koordinatalar sistemasida N(X;Y), N'(X';Y') koordinatalarga ega bo’lsin.

G₀^k(N) = N' => O'N' = kON, bundan

X' = kX;

Y' = kY. (35.2)

Parallel ko’chirish formulasidan foydalansak
X = x+a; X'=x'+a
Y =y+b; Y' = y'+b (35.3 )

(35.2) va (35.3) lardan foydalanib,

x' = kx + a(k-1);

y' = ky + b(k-1) (35.4)

Bu formula markazi O' nuqtada k koeffitsientli gomotetiyaning analitik formulasi.

Agar k=1 bo’lsa, (35.4) formulada x'=x; y'=y ayniy almashtirish formulasi hosil bo’ladi.

O’xshash almashtirishning analitik ifodasi.

R^k o’xshash almashtirishning analitik ifodasini topaylik. Yuqoridagi

1-teoremaga ko’ra R^k ni gomotetiya va harakat kompozitsiyasi sifatida qarash mumkin, ya’ni

R^k = L G^k

Koordinatalar boshini G^k gomotetiya markazi, N(x,y) nuqtaning aksini

G₀^k(N) = N*(x*,y*) deb olsak u holda

(36.1)

L(N*)=N'(x',y') o’tkazsin, harakat formulasidan foydalanib ushbu:

(36.1)

bu yerda a,b lar O nuqta aksining koordinatalari. Ya’ni L(0) = O'(a;b).

(35.4) va (36.1) lardan ni hosil qilamiz.

Shunday qilib quyidagi teoremaga ega bo’ldik.

2-teorema. Tekislikdagi har bir o’xshash almashtirish, to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida,

(36.2)

formula bilan ifodalanadi.

Teskari teorema ham o’rinli bo’ladi:

3-teorema.

(36.3)
bunda  = ±1 va a₁²+a₂²≠0, formula k= koeffitsientli o’xshash almashtirishni aniqlaydi.

Isboti. (36.3) formuladan N(x,y) nuqtaga mos N'(x',y') nuqtani bir qiymatli aniqlab qolmay, balki N'(x',y') nuqta berilsa N(x,y) nuqtani ham bir qiymatli aniqlash mumkin, chunki



Agar A(x₁;x₂) → A'(x';y'), B(x₂;y₂) → B'(x';y') nuqtaga almashtirilsa, u holda

=





Demak, ixtiyoriy A, B nuqtalar va ularning A', B' obrazlari uchun

(A',B') = k (A,B)

Agar a₂ = 0 bo’lsa (36.3) formula harakatni aniqlaydi. Buning to’g’riligini talabalar o’zlari isbotlashi mumkin.

O’xshash almashtirish, isbotlashga, yasashga, hisoblashga doir masalalarni yechishda muhim ahamiyat kasb etadi.