O`xshash almashtirish va gomotetiya. Ularning analitik ifodasi. O`xshash almashtirishni gomotetiya va harakat ko`paytmasi sifatida qarash. O`xshash almashtirish gruppasi va uning qism gruppasi. Reja

G o m o t e t i y a v a u n i n g x o s s a l a r i.

O’xshash almashtirishning biri gomotetiyadir (grekcha «gomo» o’xshash va "temos" joylanish).

2-ta’rif. Tekislikdagi har bir A nuqtaga

(32.1)

shartni qanoatlantiruvchi A' nuqtani mos keltiradigan almashtirishni k0 koeffitsientli va O markazli gomotetik almashtirish, qisqacha gomotetiya deyiladi. O markazi k0 koeffitsientli gomotetiya G₀^k ko’rinishda belgilanadi.

Ta’rifdan gomotetiyaning ko’plab xossalarini chiqarish mumkin biz ularning ba’zi birlariga to’xtalamiz:

1°. Gomotetiya o’zaro bir qiymatli almashtirish.

H aqiqatan, agar A nuqta k koeffitsient berilsa A' nuqta vector yordamida bir qiymatli aniqlanadi, ya’ni G_O^K(A) = A'
A
66-chizma
ksincha, agar A' nuqta, gomotetiya markazi O nuqta va k- koeffitsient berilgan bo’lsa, u holda OA' vektor bir qiymatli aniqlanadi, demak bundan A nuqta aniqlanadi (69.a - chizma).

2°. Gomotetiyada mos nuqtalar va gomotetiya markazi bir to’g’ri chiziqda yotadi (69 a,b- chizma).

Bu va vektorlarning kollinearligadan bevosita kelib chiqadi. Agar k>0 bo’lsa, va vektorlar bir xil yo’nalishga ega bo’ladi, demak, A nuqta va uni aksi (obrazi) A' nuqta, markazdan bir tomonda yotadi. Agar k<0 bo’lsa, va vektorlar qarama – qarshi yo’nalgan bo’ladi, demak, A va A' nuqtalar O nuqtaning turli tomonlarida yotadi.

3°. Gomotetiya nuqtalarning kollinearligini saqlaydi.

4°. Agar G₀^k(A)=A', G₀^k(B) = B' o’tkazsa, (A’, B’)=k (A, B).

Buning isboti 3° xossadan bevosita kelib chiqadi.

5°. Agar G₀^k(A)=A', G₀^k(B) = B' o’tsa, AB to’g’ri chiziq A'B' to’g’ri chiziqqa parallel bo’ladi. Ya’ni AB//A'B'.

Buni o’rinliligi A’B’ = kAB dan bevosita kelib chiqadi.