O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti algebra va geometriya kafedrasi asosiy algebraik sistemalar

11-m i s o l. - maydonlardir. ■

12-m i s o l. Vektorlar halqasi ning va funksiyalar halqasi ning maydon, hatto telo ham bo’laolmasligini ko’rsating. ■

Yechish.8-misolga ko’ra hyech qanday maydon nolning bo’luvchilariga ega emas. va halqalar esa nolning bo’luvchilariga ega. Shundan ko’rsatilishi kerak bo’lgan tasdiq hosil bo’ladi. ■

13-m i s o l. lar maydonning ixtiyoriy elementlari va bo’lsin. ni isbot qiling. ■

Yechish.Maydonda ko’paytirish kommutativ bo’lgani uchun ixtiyoriy uchun va bu ifodalarning har birini kasr shaklida ifodalash hyech qanday aniqsizlikka olib kelmaydi. Shuning uchun isbotlanayotgan tenglikning chap tomoni ya’ni o’ng tomoniga teng. Shu bilan birga nolning bo’luvchilari mavjud emasligi sababidan va dan kelib chiqadi. ■

Agar maydon biri (birlik elementi) ning hamma butun karralilari P ning elementlaridan iborat bo’lsa, ya’ni uchun bo’lsa R maydon nol xarakteristikaga ega deyiladi va shaklda yoziladi. Aks holda uchun ammo bo’lsa, r natural son R maydonning xarakteristikasi deyiladi va qilib yoziladi. Boshqacha qilib aytganda, maydonning biri uning additiv gruppasida cheksiz tartibli element bo’lsa, maydonning xarakteristikasi nolga teng deyiladi, aks holda maydonning xarakteristikasi deb maydon birining uning additiv gruppasidagi tartibiga aytiladi.

14-m i s o l. Agar bo’lsa:

a) r – tub son; b) ixtiyoriy uchun bo’lishini isbot qiling.

Yechish.a) Teskarisini faraz qilamiz. R ning tartibi tub emas, ya’ni m va n – va bo’lgan natural sonlar bo’lsin. R ta birning yig’indisi nolga teng: bu yig’indining qo’shiluvchilarini har biri n ta birdan iborat m ta gruppaga ajratish mumkin. U holda distributivlik qonuniga asosan

Endi r – yig’indi nolga teng bo’ladigan birlarning eng kichik miqdori hamda va bo’lgani uchun va ni hosil qilamiz, ammo Buning bo’lishi mumkin emas, chunki maydon nolning bo’luvchilariga ega emas.

b) Haqiqatan,

, bo’lgani holda. Ta’rifga asosan nolta qo’shiluvchilarning yig’indisi nolga teng deb hisoblanadi. ■

Agar halqa elementlarining bo’sh bo’lmagan qismto’plami halqada aniqlangan amallarga nisbatan halqa bo’lsa halqa ning qismhalqasi deyiladi. Bunda hamma joyda «halqa» so’zini «maydon» so’zi bilan almashtirilsa qismmmaydon tushunchasi hosil bo’ladi.