O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

2.4. Haqiqiy sonlarning Veyershtrass nazariyasi
m,n N bo’lsin. Natural sonni natural songa bo’lish algoritimiga ko’ra, ratsional son chekli o’nli kasr yoki cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida tasvirlanadi:

Yoki ,
raqamlar, manfiy bo’lmagan butun son, lar ichida nol emaslari ham bor, chekli o’nli kasrni davrida 9 bo’lgan cheksiz o’nli kasr ko’rinishida ham tasvirlashimiz mumkin:

Shunday qilib, ixtiyoriy ga cheksiz davriy o’nli kasr mos qo’yiladi, va aksincha, ixtiyoriy cheksiz o’nli kasrga bittagina musbat musbat ratsional son mos keladi, ni ga bo’lish algoritimi xuddi shu cheksiz davriy o’nli kasrni beradi. songa ga mos keluvchi cheksiz davriy o’nli kasrni minus ishora bilan olinganiga mos qo’yamiz, o’nli kasrni mos qo’yamiz, nolga ±0,000…=0,000… o’nli kasrni mos qo’yamiz. Demak, barcha ratsional sonlar to’plami Q va barcha davriy cheksiz o’nli kasrlar to’plami orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud: . Bu fikrlar kitobxonga ma’lum.
Veyershtrass haqiqiy sonlar nazaryasini cheksiz o’nli kasrlarga asoslanib tuzadi.
“+” yoki “-“ ishoralar davriy bo’lmagan(davriymas) ixtiyoriy cheksiz o’nli kasr … irratsional son deyiladi; α₀-manfiybo’lmagan butun son, α₁, α₂, α₃… lar raqamlar.
Misollar. 1) 5,4344334443334444…( 4,44… lar orasiga 3,33…lar yozilgan) davriymas cheksiz o’nli kasr, demak, ta’rifiga ko’ra, irratsional sondir.
2) 3 dan kvadrat ildiz chiqarish algoritmiga ko’ra hosil qilingan cheksiz o’nli kasr ham davriymas, binobarin, irratsional sondir: . Barcha ratsional va irratsional sonlar to’plami haqiqiy sonlar to’plami deyiladi, uni biz avvalgidek R bilan belgilaymiz. Demak, Veyershtrass nazariyasi bo’yicha
…
ko’rinishida ixtiyoriy cheksiz o’nli kasr haqiqiy son deyiladi … davriy bo’lsa, ratsionla sonni; davriy bo’lmasa irratsional sonni ifodalaydi.
… kasr α haqiqiy sonni ifodalashini …kabi yozamiz. Agar … da kasr “+” (“-“) ishorali va α_k raqamlarning kamida bittasi noldan farqli bo’lsa, α musbat (manfiy) haqiqiy son deyiladi va α>0 yoki α<0 kabi belgilanadi.
Haqiqiy sonlar to’plamining tartiblanganligi.
bo’lsin.Agar α_k=β_k , k=0,1,2,3,…,k va faqat shu holda α=β deyiladi. Agar α₀<β₀ bo’lsa yoki shunday k nomer mavjud bo’lsaki, α_i=β_i, i=0,1,2,3,…k,va α_k+1<β_k+1 bo’lsa, α<β (β>α) deyiladi. Agar α₀>β₀ bo’lsa yoki shunday nomer k mavjud bo’lsaki, α_i=β_i, i=0,1,2,3,…k,va α_k+1<β_k+1 bo’lsa, α>β (β<α) deyiladi. Haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallarni ta’riflashdan avval turg’unlashuvchi ketma-ketlik tushunchasini kiritamiz. k₁,k₂,…єZ va biror nomer l₀ dan boshlab barcha l≥l₀ lar uchun k_i=k bo’lsa, {k_i} ketma-ketlik natural son k ga turg’unlashadi deyiladi.
Misollar: 1)1,3,5,6,7,8,8,8,… ketma-ketlik 6- nomerdan boshlab 8 ga turg’unlashadi.
2) -1,-2,-3.-4,-11,-11.. ketma-ketlik 5- nomerdan boshlab -11 ga turg’unlashadi.
Agar butun sonlar ketma-ketligi kamayuvchi va yuqoridan chegaralangan bo’lsa, u biror butun songa turg’unlashishini ko’rsatish oson. Haqiqiy sonlar-cheksiz o’nli kasrlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin:
(3)
Biror β=β₀,β₁,β₂,…β_n… haqiqiy sonni olaylik. Agar {α_ik} ixtiyoriy k=0,1,2,… uchun β_k ga turg’unlashsa, {α_n} ketma-ketlik β ga turg’unlashadi deymiz.
Quyidagi teorema o’rinli:
Teorema. Agar (3) kamayuvchi va yuqoridan butun son K bilan chegaralangan bo’lsa, u holda (3) biror a songa turg’unlashadi va α_n≤a≤K bo’ladi, n=1,2…
Haqiqiy sonlar ustida amallar. α>0, β>0 va bo’lsin. Bu haqiqiy sonlarning n-qirqimlari x_(n), y_(n)єQ teoremaga ko’ra x_(n)+y_(n)= + =γ_n0,γ_n1,γ_n2,…γ_nn n=1,2… ketma-ketlik tayin bir λ=λ₀λ₁λ₂…λ_n… songa turg’unlashadi. Bu sonni α va β sonlarning yig’indisi sifatida qabul qilamiz: α+β=λ. Shunday qilib, α va β sonlarning n-qirqimlari yig’indisi qaysi songa turg’unlashsa shu son α va β sonlarning yig’indisi deyiladi.
Xuddi shuningdek x_(n)-(y_(n)+10^-n)=x_(n)-y⁽ⁿ⁾, (x_(n) y_(n))_(n) ketma-ketliklar turg’unlashuvchi bo’ladi. va ular qaysi sonlarga turg’unlashsa, o’sha sonlar, mos ravishda, α va β sonlarning ayirmasi, ko’paytmasi deyiladi.
Bu amallarni α va β ixtiyoriy ishorali bo’lganida ham kiritish mumkin. Masalan, α,β≤0 bo’lsa, ularning yig’indisi α+β kabi aniqlanadi. Agar barcha cheksiz o’nli kasrlar to’plamida tartib munosabati (katta), qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish amallari yuqoridagidek kiritilsa, u holda bu to’plam elementlari uchun ham
I-VI talablar bajariladi.