O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

I-bob bo’yicha xulosa.
I-bob xulosa qiladigan bo’lsak, bu bob haqiqiy sonlar deb nomlanadi. Bunda bob to’rtta rejadan iborat. Har bir rejaga alohida to’xtalib o’tilgan va kitobxon tushunadigan sodda va izchil yozishga harakat qilingan.
1-bo’lim butun sonlar va natural sonlar deb nomlanib, unda natural sonlar va butun sonlarga ta’riflar keltirilgan. Natural sonlar qanday paydo bo’lgan ulardan butun sonlarning kelib chiqishi haqida yozilgan.
2-bo’limRatsional sonlar to’plami va uning xossalari, deb nomlanib, unda ratsionalsonga ta’rif keltirilgan va ratsional sonning xossalari bayon etilgan. Ratsional sonlar to’plami tushunchasiga ham to’xtalib o’tilgan.
3- bo’limratsional sonlar to’plamini kengaytirish zarurligi deb nomlanadi. Bu rejamizda natural sonlar , butun sonlar , ratsional sonlar va irratsional sonlar haqida ta’riflar keltirilgan. Barcha ta’riflar bir-biriga bog’liq ravishda bayon etilgan.
4-bo’limhaqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar va ularning xossalari deb nomlanadi. Haqiqiy son tushunchasi, haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar va haqiqiy sonlar- ning xossalari haqida bayon etilgan. Haqiqiy sonlar nazariyasi asosan 2 xil usul bilan quriladi: konstruktiv usul, aksiomatik usul. Bu rejamizda shu 2 usul haqida va bu usullarning natural, ratsional va butun sonlarga bog’liq ravishda tushuntirib berilgan.
II-bob. Haqiqiy sonlarning turli nazariyalari
2.1. Haqiqiy sonlarning Kantor nazariyasi
Bu nazariya ratsional sonlarning fundamental ketma-ketligi tushunchasiga asoslangan.

1. 
   Ta’rif. x₁,….,x_n…єQ bo’lsin. Agar Q dan olingan ixtiyoriy >0 soni uchun shunday natural son N( ) mavjud bo’lsaki, n>N( va ixtiyoriy pєN uchun bo’lsa {x_n} ketma-ketlik fundamental ketma-ketlik deyiladi.
   

Ma’lumki tengsizlik tengsizlikka ekvivalent. Demak {x_n} fundamental ketma- ketlik bo’lsa, x_n ning atrofiga ketma-ketlikning nomeri n dan katta bo’lgan barcha x_n+1, x_n+2… hadlari kelib tushadi, bu atrofdan tashqarida esa ketma-ketlikning faqat chekli sondagi elementlari bo’lishi mumkin. {x_n} fundamental ketma-ketlik haqidagi yana bir geometrik tasavvur quyidagicha hosil qilinadi: x₁,x₂…,x_n… sonlarni N da aniqlangan biror funksiyaning qiymatlari deylik. OY o’qida x_{n+Ɛ ,}x_n-Ɛ nuqtalardan OX ga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazamiz. Koordinatalari (k,x_k) bo’lgan nuqtalarni kesmalar yordamida birlashtira borsak, uchlarining koordinatalari (n,x_n) ,(n+1,x_n+1) n>N(Ɛ) bo’lgan kesmadan boshlab siniq chiziqning barcha bo’laklari y= x_n+Ɛ , y=x_n-Ɛ to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan yo’lakda yotadi. Ɛ ni yetarlicha kichik qilib olish hisobiga, bu yo’lak istalgancha tor qilinishi mumkin.
Hadlari ratsional sonlardan iborat bo’lgan fundamental ketma-ketliklar to’plami
Ф orqali belgilaylik. {x_n} , {y_n}єФ bo’lsin. Agar {x_n-y_n} ketma-ketlikning limiti
0 bo’lsa, {x_n} , {y_n} ketma-ketliklar teng kuchli deyiladi. Shunday qilib, agar bo’lsa, {x_n} , {y_n} ketma-ketliklar ekvivalent bo’ladi. Bu munosabat ekvivalentlik munosabatidir. Ekvivalantlik munosabati Ф ni kesishmaydigan sinflarga ajratadi. O’zaro ekvivalent bo’lgan barcha funksional ketma-ketliklar bitta sinfga tegishli deb hisoblaymiz. Masalan, {a_n}єФ va bo’lsa, limiti r ga teng bo’lgan barcha funksional ketma-ketliklar {a_n} olingan sinfga tegishli bo’ladi.
Xususan, shu sinfga r,r,r,r,r…,r,… ketma-ketlik ham tegishli bo’ladi, r,r,r…,r… ga ekvivalent bo’lgan barcha funksional ketma-ketliklar sinfini ratsional son r ni aniqlovchi sinf deymiz, bu sinfning vakili deganda biz, soddalik uchun r ni tushunamiz.
Agar Фє{a_n} ketma-ketlikning limiti ratsional son bo’lsa, bunday ketma-ketlik I tur ketma-ketlik deyiladi. Barcha I tur ketma-ketliklar to’plamini
Ф₁ deylik. Agar Фє{a_n} ketma-ketlikning limiti ratsional son bo’lmasa, bunday ketma-ketlik II tur ketma-ketlik deyiladi. Barcha II tur ketma-ketliklar to’plamini Ф₂ desak, .
Ta’rif. Barcha o’zaro ekvivalent ikkinchi tur ketma-ketliklar sinfi irratsional son deyiladi. Kantor nazariyasida haqiqiy son quydagicha ta’riflanadi: ratsional sonlarning o’zaro ekvivalent funksional ketma-ketliklarining sinfi haqiqiy son deyiladi. α haqiqiy sonni aniqlaydigan sinfi cl{a_n} deb belgilaymiz. Demak, har bir sinf cl{·} biror haqiqiy sonni ifodalaydi. Agar cl{·}єФ₁ bo’lsa, u aniqlagan son ratsional , agar cl{·}єФ₂ bo’lsa, u aniqlagan son irratsional sondir.
Xususan, α-ratsional son bo’lsa, α,α,…,α,α,α… ketma-ketlik Ф ga tegishli bo’lgani uchun, ratsional α ni aniqlovchi sinfni simvolik ravishda deb yozamiz.
Hadlari ratsional sonlardan iborat bo’lgan fundamental ketma-ketliklarning ba’zi xossalarini keltiraylik. Barcha bunday ketma-ketliklar to’plamini Ф bilan belgilagan edik. Yozuvchi qisqartirish uchun Ф dan olingan ketma-ketlikni deymiz.
Teorema. Har qanday Ф-ketma-ketlik chegaralangandir.
Isboti. {a_n}єФ bo’lsin, demak, har qanday 0<ƐєQ uchun shunday natural son N(Ɛ) mavjudki, tayin n₀>N(Ɛ) va bo’ladi. Bu tengsizlikdan kelib chiqadi.
deylik, u holda bo’ladi. Teorema isbotlandi.
Teorema. {a_n}єФ va bo’lsin. U holda shunday musbat ratsional a son mavjudki, biror nomerdan boshlab ketma-ketlikning barchi qolgan hadlari uchun va ushbu a_n>a yoki a_n<-a tengsizliklardan faqat bittasi bajariladi.
Isboti. Teorema shartiga binoan, barcha n>N(a) va vahda uchun kєN mavjudki bo’ladi. n₀>N(a) tengsizlikni qanoatlantiruvchi n₀ ni tanlaymiz va k ni shunday tanlaymizki, bo’lsin. dan n>N(a) uchun tengsizliklardan faqar bittasi bajariladi, aks holda {a_n} ketma-ketlik fundamental ketma-ketlik bo’lmasdi. Teorema isbotlandi.
Teorema. {a_n} Ф-ketma-ketlik bo’lsin. Bu ketma-ketlikning chekli sondagi dastlabki hadlarini olib tashlash natijasida hosil bo’lgan ketma-ketlik {a_n} ga ekvivalent bo’ladi.
Isboti. {a_n} ning birinchi k ta hadini tashlab yuborib, {a_k+n}, n=1,2,3,…, ni hosil qilamiz. {a_n}єФ bo’lgani uchun, va bo’ladi. Demak, Bu esa, ta’rifga ko’ra, degan so’z. Teorema isbotlandi.
Ф-ketma-ketlikning yuqorida keltirilgan xossalari haqiqiy sonlar ustida amallarni quyidagicha ta’riflash imkonini beradi. bo’lsin.
Ta’riflar. 1. α va β haqiqiy sonlar yig’indisi deb cl{a_n+b_n} sinf bilan aniqlanadigan γ haqiqiy songa aytiladi va γ=α+β kabi yoziladi. Demak, γ=α+β yozuv cl{a_n+b_n}=cl{a_n}+cl{b_n} degan so’z.
2. α va β haqiqiy sonlar ayirmasi deb cl{a_n-b_n} sinf bilan aniqlanadigan δ haqiqiy songa aytiladi va δ=α-β kabi yoziladi.
Shunday qilib, δ=α-β yozuv cl{a_n-b_n}=cl{a_n}-cl{b_n} ga teng kuchlidir.
Bu ta’riflardan ko’rinadiki, haqiqiy sonlar ustida yuqorida keltirilgan amallarning xossalari ratsional sonlar ustidagi mos amallarning xossalari kabi bo’ladi.
Barcha haqiqiy sonlar to’plamini R bilan belgilaymiz va uning tartiblanganligini ko’rsatamiz.
Agar biror X to’plamning ixtiyoriy ikkita x,y(x≠y) elementlari
1) > (<) munosabatlari bilan bog’langan bo’lsa,
2) x,y,zєX lar uchun xAgar {a_n}єФ, va biror n₀ nomerdan boshlab barcha n≥n₀ uchun a_n>0(a_n<0) bo’lsa, cl{a_n} musbat (manfiy) haqiqiy sonni aniqlaydi deymiz.
α,βєR bo’lsin. Agar α-β musbat(manfiy) bo’lsa, α haqiqiy son β haqiqiy sondan katta(kichik) deyiladi va α>β(α<β) kabi yoziladi.