O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar to‘plami P (x) ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qilishini ko‘rsating.

Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar to‘plami P (x) ko‘phadlarni qo‘shish va super- pozitsiya amallariga nisbatan halqa tashkil qiladimi?

Quyidagi halqalarning barcha teskarilanuvchi elementlarini toping:


Z₆, Z₈, Z₁₂, Z₁₅, Z₁₈, Z₂₄, Z₃₀.

7. 
   
   Quyidagi halqalarda nolning bo‘luvchilarini toping:
   

Z₅, Z₈, Z₁₂, Z₁₅, Z₂₂, Z₂₄, Z₃₀.

8. 
   
   Quyidagi halqalarning barcha nilpotent elementlarini toping:
   

Z₆, Z₈, Z₁₂, Z₁₅, Z₁₆, Z₂₄, Z₃₆.

9. 
   
   Quyidagi halqalarning barcha idempotent elementlarini toping:
   

Z₅, Z₆, Z₈, Z₁₀, Z₁₂, Z₁₄. Z₂₇.

10. 
    
    Z_n halqa noldan farqli nilpotent elementga ega bo‘lmasligi uchun n soni-
    

ning kanonik yoyilmasi n = p₁p₂ . . . p_k(p_i
ekanligini isbotlang.
p_j) kabi bo‘lishi zarur va yetarli

11. 
    
    Z_n halqa nol va birdan farqli idempotent elementga ega bo‘lmasligi uchun
    

n = p^r bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

12. 
    
    Agar Z_n halqada n = m · k bo‘lib, (m, k) = 1 bo‘lsa, u holda Z_n halqa nol va birdan farqli kamida ikkita idempotent elementga ega ekanligini isbotlang.
    

13. 
    
    Quyidagi halqalarning barcha idempotent elementlarini toping:
    

Z₁₅, Z₃₀, Z₄₂, Z₆₀, Z₇₂, Z₈₄. Z₉₀.

14. 
    
    Quyidagi halqalarning barcha nilpotent elementlarini toping:
    

^Z40^{, Z}44^{, Z}60^{, Z}72^{, Z}180^{, Z}252^{, Z}300^.

15. 
    
    M₂(R) halqaning barcha teskarilanuvchi, idempotent va nilpotent element- larini toping.
    
16. 
    
    Z[i] = {x + iy | x, y ∈ Z} halqaning barcha teskarilanuvchi, idempotent va nilpotent elementlarini toping.
    

17. 
    
    R halqa kommutativ bo‘lishi uchun (a + b)² = a² + 2ab + b² bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    
18. 
    
    R halqa kommutativ bo‘lishi uchun a² − b² = (a − b)(a + b) bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    
19. 
    
    R halqaning ixtiyoriy a ∈ R elementi uchun a³ = a tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda R halqaning kommutativ ekanligini isbotlang.
    
20. 
    
    Biri bor R halqaning a ∈ R nilpotent elementi uchun 1 − a va 1 + a element- larning teskarilanuvchu ekanligini isbotlang.
    
21. 
    
    Agar a ∈ R element halqaning idempotent elementi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy
    

b ∈ R uchun (1 − a)ba elementning nilpotent ekanligini ko‘rsating.

22. 
    
    Agar biri bor R halqaning x, y ∈ R elementlari uchun xy va yx ko‘paytmalar teskarilanuvchi bo‘lsa, u holda x va y elementlar ham teskarilanuvchi bo‘lishini ko‘rsating.
    
23. 
    
    Agar biri bor, nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan R halqaning x, y ∈ R elementlari uchun xy ko‘paytma teskarilanuvchi bo‘lsa, u holda x va y elementlar ham teskarilanuvchi bo‘lishini ko‘rsating.
    

24. 
    
    Biri bor halqa Bul halqasi bo‘lishi uchun ixtiyoriy a, b elementlar uchun (a +
    

b)ab = 0 bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

2.