O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.1.13-misol. R halqa noldan farqli nilpotent elementga ega bo‘lmasligi uchun
a² = 0 ekanligidan a = 0 tenglik kelib chiqishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
Yechish. Aytaylik, R halqa noldan farqli nilpotent elementga ega bo‘lmasin.
U holda a² = 0 ekanligidan a = 0 tenglik kelib chiqishi ravshan.

∈
Endi misolning ikkinchi tomonini ya’ni a² = 0 ekanligidan a = 0 tenglik kelib chiqsa, R halqa noldan farqli nilpotent elementga ega bo‘lmasligini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, R halqaning noldan farqli b R nilpotent elementi mavjud bo‘lsin, ya’ni bⁿ = 0. Ushbu n natural sonini bⁿ = 0 tenglikni qanoat- lantiruvchi eng kichik natural son deb faraz qilish mumkin.

Agar n soni juft bo‘lsa, u holda n = 2m bo‘lib, (b^m)² = b^2m = bⁿ = 0. Bundan esa b^m = 0 ekanligini hosil qilamiz. Bu esa n sonining eng kichik ekanligiga zid.
Agar n soni toq son, ya’ni n = 2m + 1 bo‘lsa, u holda (b^m+1)² = b^2m+2 = b^2m+1b = 0 bo‘lib, bu tenglikdan b^m+1 = 0 ekanligini hosil qilamiz. Bu ham n sonining eng kichik ekanligiga zid, chunki, n > 1 bo‘lib m + 1 < n. Demak, R halqa noldan farqli nilpotent elementga ega emas. Q
5.1.14-misol. Aytaylik, R halqa birlik elementli kommutativ halqa bo‘lsin. Agar a ∈ R element teskarilanuvchi va b ∈ R element nilpotent bo‘lsa, u holda a + b elementning teskarilanuvchi ekanligini ko‘rsating.

∈
Yechish. a ∈ R element teskarilanuvchi bo‘lganligi uchun, shunday c ∈ R element topilib, ac = ca = 1 bo‘ladi. Ikkinchi tomondan esa b R element nilpotent bo‘lganligi uchun qandaydir n natural soni uchun bⁿ = 0. Endi d = c − c²b + c³b² +· · · +(−1)ⁿ⁻¹cⁿbⁿ⁻¹ elementni a + b elementning teskarisi ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham

(a + b)d = (a + b)(c − c²b + c³b² + · · · + (−1)ⁿ⁻¹cⁿbⁿ⁻¹) =
= ac−ac²b+ac³b² +· · ·+(−1)ⁿ⁻¹acⁿbⁿ⁻¹ +bc−bc²b+bc³b² +· · ·+(−1)ⁿ⁻¹bcⁿbⁿ⁻¹ =
= 1−cb +c²b² +· · ·+(−1)ⁿ⁻¹cⁿ⁻¹bⁿ⁻¹ +cb −c²b² +c³b³ +· · ·+(−1)ⁿ⁻²cⁿ⁻¹bⁿ⁻¹ = 1. Xuddi shunga o‘xshab, d(a+b) = 1 ekanligini ham ko‘rsatish mumkin. Demak,
a + b element teskarilanuvchi. Q

Yuqoridagi misolda R halqaning kommutativ bo‘lishi muhim ahamiyatga ega. Chunki, kommutativ bo‘lmagan halqada teskarilanuvchi va nilpotent elementning yig‘indisi har doim ham teskarilanuvchi bo‘lavermaydi. Masalan, M₂(R) halqada

teskarilanuvchi A = ^{0 1} element va nilpotent B = ^{0 −1} elementlar-

1 0 0 0
ning yig‘indisi A + B = ^{0 0} teskarilanuvchi emas.

1 0
Quyidagi misolda M₂(R) halqaning regulyar halqa ekanligini isbotlaymiz.