O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.3.4-misol. (Z[^√3], +, ·) va (Z[^√5], +, ·) halqalar izomorf emasligini ko‘rsating.
Yechish. Teskarini faraz qilamiz, ya’ni f : Z[√3] → Z[√5] izomorfizm mavjud
bo‘lsin. U holda f (1) = 1 bo‘lib, bundan esa f (3) = 3 ekanligi kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan esa,
f (3) = f (^√3²) = (f (^√3))²
munosabatdan f (√3) = √3 tenglikka ega bo‘lamiz. Demak, √3 ∈ Z[√5]. Bu esa ziddiyat. Q
Endi gruppalar nazariyasida bo‘lgani kabi tabiiy gomomorfizm tushunchasi va izomorfizm haqidagi teoremalarni keltiramiz. Teoremalarning isbotlari gruppalar uchun berilgan teoremalar isboti kabi bo‘lganligi uchun biz ularning isbotlariga batafsil to‘xtalib o‘tirmaymiz.
Bizga R halqa va uning I ideali berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi g : R → R/I
akslantirishni qaraymiz
g(a) = a + I, ∀a ∈ R.
Ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘lib, u tabiiy gomomorfizm deb ataladi. Tabiiy gomomorfizm syurektiv bo‘lib, Kerg = I munosabat o‘rinli.
5.3.2-teorema. Bizga R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi f : R → R^′ epimorfizm berilgan bo‘lsin. Agar R halqaning I ideali uchun I ⊆ Kerf munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda g : R → R/I syurektiv tabiiy gomomorfizm uchun f = h ◦ g shartni qanoatlantiruvchi yagona h : R/I → R^′ epimorfizm mavjud. Shuningdek, h inyektiv bo‘lishi uchun I = Kerf tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Teoremani isbotlash uchun h : R/I → R^′ akslantirishni h(a+I) = f (a) kabi aniqlaymiz. Ushbu akslantirish to‘g‘ri aniqlangan bo‘lib, f = h ◦ g tenglik o‘rinli bo‘ladi. Uning gomomorfizm ekanligi esa quyidagi tenglikdan kelib chiqadi
h (a + I) · (b + I) = h(a · b + I) = f (a · b) = f (a) · f (b) = h(a + I) · h(b + I).

Endi bevosita izomorfizm haqidagi teoremalarni keltiramiz.

5.3.3-teorema (izomorfizm haqidagi birinchi teorema). Agar f akslantirish
^{R halqani R′ halqaga o‘tkazuvchi gomomorfizm bo‘lsa, u holda R/Kerf ∼}= ^{f (R)}
bo‘ladi.