O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.4.1-natija. R halqaning P ideali berilgan bo‘lib, ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun ab ∈ P ekanligidan a ∈ P yoki b ∈ P kelib chiqsa, u holda P birlamchi ideal bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, A va B ideallar uchun AB ⊆ P va A ¢ P bo‘lsin. U holda ∀a ∈ A \ P va ∀b ∈ B elementlar uchun ab ∈ AB ⊆ P bo‘lib, teorema
shartiga ko‘ra a ∈ P yoki b ∈ P bo‘ladi. Lekin a ∈/ P bo‘lganligi uchun b ∈ P
kelib chiqadi. Ushbu b elementling ixtiyoriyligidan B ⊆ P munosabatni hosil
qilamiz. Demak, P birlamchi ideal.
Ta’kidlash kerakki, 5.4.1-natijaning teskarisi R halqa kommutativ bo‘lgan holda to‘g‘ri bo‘lib, umumiy holda esa har doim ham o‘rinli emas. Chunki, agar R halqa kommutativ bo‘lib, P uning birlamchi ideali va ab ∈ P bo‘lsa, u holda
⟨ab⟩ ⊆ P bo‘lib, R halqaning kommutativligidan ⟨a⟩⟨b⟩ ⊆ ⟨ab⟩ ⊆ P kelib chiqadi. Bundan esa, ⟨a⟩ ⊆ P yoki ⟨b⟩ ⊆ P ya’ni a ∈ P yoki b ∈ P hosil bo‘ladi. Demak,
R halqa kommutativ bo‘lsa 5.4.1-natijaning teskarisi o‘rinli. Halqa kommutativ bo‘lmagan holda ushbu natijaning teskarisi o‘rinli bo‘lmasligiga biz quyidagi mi- solda javob beramiz.
5.4.4-misol. M_n(Z) matritsalar halqasi uchun I = {0} ideal birlamchi ideal bo‘lib, ab ∈ I ekanligidan a ∈ I yoki b ∈ I bo‘lishi har doim ham kelib chiqmaydi. Chunki, M_n(Z) halqa nolning bo‘luvchilariga ega.
5.4.5-misol. Z butun sonlar halqasida P = {3k | k ∈ Z} ideal birlamchi ideal bo‘lib, P = {6k | k ∈ Z} ideal esa birlamchi emas.
Quyidagi teoremada biri bor kommutativ halqada birlamchi ideallarning xos- sasini keltiramiz.
5.4.4-teorema. Biri bor kommutativ R halqaning P (P /= R) ideali birlamchi bo‘lishi uchun R/P faktor halqa butunlik sohasi bo‘lishi zarur va yetarli.


Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, R biri bor kommutativ halqa va P uning bir- lamchi ideali bo‘lsin. U holda R/P faktor halqa ham biri bor halqa bo‘lib, 1_R + P
element uning birlik elementi bo‘ladi. P birlamchi bo‘lib, P R bo‘lganligi uchun
1_R+P P, chunki, P = 0+P element faktor halqaning nol elementi bo‘ladi. Endi
R/P faktor halqada nolning bo‘luvchisi mavjud emasligini ko‘rsatamiz. Faraz qi- laylik, a + P va b + P elementlar uchun (a + P )(b + P ) = 0 + P bo‘lsin, u holda ab + P = P bo‘lib, ab ∈ P ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa, R halqaning kom- mutativligi va P idealning birlamchi ekanligini hisobga olsak, a ∈ P yoki b ∈ P kelib chiqadi. Bu esa, a + P = 0 + P yoki b + P = 0 + P ekanligini anglatadi. Ya’ni, R/P faktor halqa nolning bo‘luvchisiga ega emas.