5.4.3-ta’rif. Agar birlik elementga ega bo‘lgan kommutativ R halqaning noldan farqli va teskarilanmaydigan p ∈ R elementi uchun p = ab ekanligidan a yoki b elementlarning teskarilanuvchi ekanligi kelib chiqsa, u holda ushbu element kelti- rilmas element deb ataladi. Aks holda, ya’ni agar p elementni teskarilanu- vchi bo‘lmagan a va b elementlarning ko‘paytmasi shaklida p = ab kabi ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda p element keltiriluvchi deyiladi.
Ta’kidlash joizki, Z butun sonlar halqasida p tub sonni olsak, u holda p va −p
elementlar ham tub ham keltirilmas elementlar bo‘ladi.
Quyidagi misolda, tub element bo‘lib, keltirilmas bo‘lmaydigan elementga misol keltiramiz.
5.4.2-misol.Z6 halqaning p = 3 elementi tub element bo‘lib, keltiriluvchi bo‘ladi. Chunki, agar a, b ∈ Z6 elementlar uchun 3 | ab ekanligidan, shunday c ∈ Z6 element uchun 3 · c = a · b tenglikning bajarilishi, bundan esa 6 | (ab − 3c) ekanligi kelib chiqadi. Ushbu munosabatdan esa, 3 | (ab − 3c), ya’ni 3 | ab ekanligini olish qiyin emas. Bu esa 3| a yoki 3 | b ekanligini, ya’ni 3 | a yoki 3 | b bo‘lishini bildiradi. Demak, p = 3 element Z6 halqaning tub elementi.
Ushbu p = 3 elementning keltiriluvchi ekanligi esa 3 = 3 · 3 tenglikdan kelib chiqadi. Ya’ni 3 elementni teskarilanmaydigan elementlarning ko‘paytmasi shak- lida ifodalash mumkin.
Endigi misolda esa, keltirilmas bo‘lib, lekin tub bo‘lmaydigan element mavjudligini ko‘rsatamiz.
5.4.3-misol. Z[i√5] = {a + bi√5 | a, b ∈ Z} halqaning p = 3 elementi keltirilmas
bo‘lib, tub bo‘lmaydi.
Chu√nki, ushbu√elementni teskarilanmaydigan elementlar ko‘paytmasi shaklida
(a + bi 5)(c + di 5) = 3 kabi ifodalash mumkin emas. De√mak, p = 3 eleme√nt keltirilmas element. Lekin 3 ga bo‘linmaydigan a = 1 + i 5 va b = 1 + i 5
elementlarning ko‘paytmasi ab = 6 soni 3 ga bo‘linishidan, ushbu elementning tub emasligi kelib chiqadi.
Endi qanday halqalarda tub va keltirilmas elementlar ustma-ust tushishi haqidagi natijalarni keltiramiz.
