O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.4.4-ta’rif. Aytaylik, R halqaning P ideali berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy A, B ideallar uchun AB ⊆ P ekanligidan A ⊆ P yoki B ⊆ P kelib chiqsa, u holda P ideal birlamchi(prime) ideal deb ataladi.
Ta’kidlash joizki, agar P birlamchi ideal bo‘lib, a, b ∈ R elementlar uchun
⟨a⟩⟨b⟩ ⊆ P bo‘lsa, u holda ⟨a⟩ ⊆ P yoki ⟨b⟩ ⊆ P kelib chiqadi. Bu esa, a ∈ P yoki b ∈ P ekanligini anglatadi. Demak, P birlamchi ideal bo‘lib, ⟨a⟩⟨b⟩ ⊆ P bo‘lsa, u holda a ∈ P yoki b ∈ P. Bundan tashqari, qandaydir k ∈ N natural soni uchun
⟨a⟩^k ⊆ P bo‘lsa, u holda a ∈ P bo‘ladi.
Birlamchi ideal tushunchasini yuqoridagi ta’rifga ekvivalent bo‘lgan quyidagi ta’rif orqali ham aniqlash mumkin. Ushbu ta’rifning yuqoridagi ta’rifdan farqi shundaki, bunda birlamchi ideal tushunchasi halqaning elementlari orqali beriladi.
5.4.5-ta’rif. Aytaylik, R halqaning P ideali berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun aRb ⊆ P ekanligidan a ∈ P yoki b ∈ P kelib chiqsa, u holda P ideal birlamchi(prime) ideal deb ataladi.
Quyidagi teoremada esa, yuqoridagi ta’riflarning ekvivalent ekanligini ko‘rsatamiz.
5.4.3-teorema. R halqaning P ideali birlamchi ideal bo‘lishi uchun ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun aRb ⊆ P ekanligidan a ⊆ P yoki b ⊆ P kelib chiqishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, P birlamchi ideal bo‘lib, a, b ∈ P elementlar uchun aRb ⊆ P bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz
A = RaR, B = RbR.
U holda A va B to‘plamlar R halqaning ideallari bo‘lib,

AB = (RaR)(RbR) ⊆ R(aRb)R ⊆ RPR ⊆ P.
P ideal birlamchi ideal bo‘lganligi uchun A ⊆ P yoki B ⊆ P. Agar A ⊆ P bo‘lsa, u holda ⟨a⟩³ ⊆ RaR = A ⊆ P ekanligidan a ∈ P kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshab, agar B ⊆ P bo‘lsa, u holda b ∈ P ekanligini hosil qilamiz. Demak, a ⊆ P yoki b ⊆ P.


Yetarlilik. Aytaylik, ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun aRb ⊆ P ekanligidan a ⊆ P yoki b ⊆ P kelib chiqsin. Faraz qilaylik, R halqaning A va B ideallari berilgan bo‘lib, AB ⊆ P va A ¢ P bo‘lsin. U holda shunday a ∈ A element topilib, a ∈/ P. Ixtiyoriy b ∈ B element uchun
aRb = (aR)b ⊆ AB ⊆ P
ekanligidan, a ∈ P yoki b ∈ P kelib chiqadi. Lekin, a ∈/ P bo‘lganligi uchun biz

ixtiyoriy b ∈ B element uchun b ∈ P ekanligini hosil qilamiz. Demak, B ⊆ P,
ya’ni P birlamchi ideal.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijani hosil qilamiz.