O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Yetarlilik. Aytaylik, R/P faktor halqa butunlik sohasi bo‘lsin. Agar ab ∈ P
bo‘lsa, u holda
0 + P = ab + P = (a + P )(b + P )
ekanligidan a + P = 0 + P yoki b + P = 0 + P kelib chiqadi. Bu esa, a ∈ P yoki b ∈ P ekanligini anglatadi. Bundan esa, R halqa kommutativ bo‘lganligi uchun P idealning birlamchi ekanligi kelib chiqadi.
Agar R halqa bosh ideallar sohasi bo‘lsa, u holda quyidagiga ega bo‘lamiz.


5.4.5-teorema. Aytaylik, R bosh ideallar sohasi va P uning xos ideali bo‘lsin. P ideal birlamchi ideal bo‘lishi uchun uning tub element orqali hosil qilinishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, R bosh ideallar sohasi va P = ⟨p⟩ uning xos ideali bo‘lsin. U holda p /= 0 va P /= R bo‘lib, p elementning teskarilanuvchi emasligini hosil qilamiz. Agar ab ∈ R elementlar uchun p | ab bo‘lsa, u holda ab = pc bo‘lib, ab ∈ P ekanligiga, bundan esa, a ∈ P yoki b ∈ P munosabatga ega bolamiz. Demak, p | a yoki p | b, ya’ni p element tub element bo‘ladi.
Va aksincha, agar p tub element uchun P = ⟨p⟩ idealni qarasak, u holda ab ∈ P shartni qanoatlantiruvchi a, b ∈ R elementlar uchun p | ab kelib chiqib, bundan p | a yoki p | b hosil bo‘ladi. Bu esa, a ∈ P yoki b ∈ P ekanligini, ya’ni P idealning birlamchiligini anglatadi.
Yuqoridagi teooremadan butun sonlar halqasining barcha birlamchi ideallari 0, Z va ⟨p⟩ = {pk | p tub son} ideallardan iborat bo‘lishini hosil qilamiz.
Endi maksimal ideal tushunchasini kiritamiz.


5.4.6-ta’rif. Aytaylik, R halqa va unung M ideali berilgan bo‘lsin. Agar M /= R bo‘lib, R halqaning M ⊂ I ⊂ R shartni qanoatlantiruvchi I ideali mavjud bo‘lmasa, u holda M ideal maksimal ideal deb ataladi.
Maksimal chap va o‘ng ideal tushunchalari ham yuqoridagi ta’rif kabi kiritiladi.



5.4.6-misol. Z butun sonlar halqasida A = {3k | k ∈ Z} iedal maksimal ideal bo‘lib, B = {4k | k ∈ Z} ideal esa maksimal emas, chunki ushbu B ideal uchun I = {2k | k ∈ Z} ideal mavjud bo‘lib, B ⊂ I ⊂ Z.
Ta’kidlash joizki, biri bor kommutativ halqaning ixtiyoriy maksimal ideali birlamchi ideal bo‘ladi. Haqiqatdan ham, M ideal R halqaning maksimal ide-
ali bo‘lib, a, b ∈ R elementlar uchun ab ∈ M va a ∈/ M bo‘lsin. U holda
⟨M, a⟩ = {u + ra | u ∈ M, r ∈ R} idealni qarasak, M ⊂ ⟨M, a⟩ bo‘lib, M ning maksimal ekanligidan ⟨M, a⟩ = R kelib chiqadi. Demak, 1 ∈ ⟨M, a⟩, ya’ni shunday u ∈ M, r ∈ R elementlar mavjud bo‘lib, 1 = u + ra bo‘ladi. Bundan esa, b = bu + rab ∈ M ekanligi kelib chiqadi. Ya’ni M birlamchi ideal.
Quyidagi misolda esa, biri bor kommutativ halqada birlamchi ideal bo‘lib, maksimal bo‘lmagan idealga misol keltiramiz.
5.4.7-misol. R = {(a, b) | a, b ∈ Z} to‘plamda
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (ac, bd)
amallarni qarasak, (R, +, ·) halqada I = {(a, 0) |a ∈ Z} to‘plam birlamchi ideal bo‘lib, maksimal bo‘lmaydi. Chunki, I idealni o‘z ichiga oluvchi J = {(a, b) |a ∈ Z, b ∈ 2Z} ideal mavjud. Ya’ni I ⊂ J ⊂ R.
Ta’kidalsh joizki, agar kommutativ halqa birlik elementga ega bo‘lmasa, uning ixtiyoriy maksimal ideali birlamchi bo‘lishi shart emas.