O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.4.7-ta’rif. Aytaylik, R kommutativ halqaning Q ideali berilgan bo‘lsin. Agar
ab ∈ Q, a ∈/ Q shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun
shunday n natural son topilib, bⁿ ∈ Q bo‘lsa, u holda Q ideal primar(primary)
ideal deb ataladi.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, ixtiyoriy birlamchi ideal primar ideal bo‘ladi. Quyidagi misolda esa, yuqorida aytilganidek, ⟨p^k⟩ ko‘rinishidagi ideallarning butun sonlar halqasida primar ideal bo‘lishini ko‘rsatamiz.



5.4.9-misol. Butun sonlar halqasining ⟨p^k⟩ ko‘rinishidagi ideali primar ideal bo‘ladi. Ta’kidlash joizki, k ≥ 2 bo‘lganda ⟨p^k⟩ ideal birlamchi ideal bo‘lmaydi. Biz
uning primar ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, ab ∈ ⟨p^k⟩ bo‘lib, a ∈/ ⟨p^k⟩ bo‘lsin.
U holda shunday r ∈ Z son topilib, ab = rp^k bo‘ladi. a soni p^k ga bo‘linmaganligi
uchun b soni p ga bo‘linishini, ya’ni b = qp ekanligini hosil qilamiz. Bundan esa,
b^k = q^kp^k ∈ ⟨p^k⟩ ekanligi kelib chiqadi. Demak, ⟨p^k⟩ primar ideal.
5.4.8-ta’rif. Aytaylik, R kommutativ halqa va uning I ideali berilgan bo‘lsin. Quyidagi

k
{a ∈ R | a ∈ I qandaydir k ∈ N uchun}

to‘plamga I halqaning radikali deb ataladi va ^√I kabi belgilanadi.

Ta’kidlash joizki, i_√xtiyoriy I ideal uchun I ⊆ √I bo‘lib, √I ham ideal bo‘ladi.
Chunki, agar a, b ∈ I bo‘lsa, u holda shunday n va m natural sonlari uchu_√ n
aⁿ, b^m ∈ I. Bundan esa, (a − b)^n+m ∈ I ekanligi kelib chiqadi, ya’ni a −_√b ∈ I.
Agar r ∈ R va a _√∈ I bo‘lsa, u holda (ra)ⁿ = rⁿaⁿ ∈ I ekanligidan ra ∈ I hosil
bo‘ladi. Demak, I ideal.