O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Yechish. Aytaylik, Z[x] halqaning
f (x) = a₀ + a₁x + · · · + a_nxⁿ, g(x) = b₀ + b₁x + · · · + b_bx^b
elementlari uchun f (x)g(x) ∈ ⟨x²⟩ va f (x) ∈/ ⟨x²⟩ bo‘lsin. U holda, a₀b₀ = 0 va

a₀b₁ + a₁b₀ = 0 bo‘lib, a₀ 0 yoki a₁ 0.
Agar a₀ 0 bo‘lsa, u holda b₀ = b₁ = 0, ya’ni g(x) ∈ ⟨x²⟩. Agar a₀ = 0 bo‘lsa,
u holda a₁ /= 0 bo‘lib, bundan b₀ = 0, ya’ni (g(x))² ∈ ⟨x²⟩ kelib chiqadi. Demak,
⟨x²⟩ primar ideal. Q

3. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1. 
   
   2 ∈ Z₁₀ elementning tub bo‘lib, keltiriluvchi emasligini ko‘rsating.
   
2. 
   
   2 + i^√5 element Z[i^√5] halqaning keltirilmas, lekin tub bo‘lmagan elementi
   

ekanligini ko‘rsating.

3. 
   
   Z[i] halqaning 2 − i, 1 + i va 11 elementlari keltirilmas ekanligini isbotlang.
   
4. 
   
   Z₉ halqaning barcha tub va keltirilmas elementlarini aniqlang.
   
5. 
   
   Agar Z[i] halqaning a + bi elementi uchun a² + b² soni tub son bo‘lsa, u holda
   

a + bi ∈ Z[i] elementning tub ekanligini isbotlang.

6. 
   
   Agar Z[i^√3] halqaning a + bi^√3 elementi uchun a² + 3b² soni tub son bo‘lsa,
   

u holda a + bi ∈ Z[i] elementning keltirilmas ekanligini isbotlang.

7. 
   
   Quyidagi halqalarning barcha maksimal ideallarini toping:
   

Z₆, Z₈, Z₁₀, Z₁₂, Z₁₈, Z₂₅.

8. 
   
   Quyidagi halqalarning barcha birlamchi ideallarini toping:
   

Z₆, Z₈, Z₁₀, Z₁₂, Z₁₆, Z₁₈.

9. 
   
   I = {(5n, m) | n, m ∈ Z} ideal Z × Z halqaning maksimal ideali ekanligini ko‘rsating.
   
10. 
    
    I = {a₀ + a₁x + · · · + a_nxⁿ |a₀ = 3k} ideal Z[x] halqaning birlamchi ideali ekanligini ko‘rsating.
    
11. 
    
    Biri bor chekli kommutativ halqaning ixtiyoriy xos birlamchi ideali maksimal ekanligini isbotlang.
    
12. 
    
    Bul halqasining ixtiyoriy xos birlamchi ideali maksimal ekanligini isbotlang.
    
13. 
    
    Biri bor R halqaning xos I ideali maksimal bo‘lishi uchun R/I faktor halqan- ing sodda bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    
14. 
    
    Aytaylik R halqaning I ideali berilgan bo‘lsin. U holda R/I faktor halqaning ixtiyoriy P birlamchi ideali uchun I ⊆ J va J/I = P shartlarni qanoatlanti- ruvchi J birlamchi ideal mavjud ekanligini isbotlang.
    
15. 
    
    Ixtiyoriy r haqiqiy son uchun I_r = {f (x) ∈ R[x] | f (r) = 0} to‘plam R[x] halqaning maksimal ideali ekanligini isbotlang.
    
16. 
    
    Ixtiyoriy K maydon uchun K[x] ko‘phadlar halqasi va ixtiyoriy a ∈ K element uchun ϕ_a(f (x)) = f (a) kabi ϕ_a : K[x] → K akslantirish aniqlangan bo‘lsin. U holda ushbu ϕ_a akslantirishning epimorfizm ekanligini ko‘rsating va Kerϕ_a to‘plam K[x] halqaning maksimal ideali bo‘lishini isbotlang.
    
17. 
    
    Biri bor kommutativ halqaning I₁ va I₂ ideallari uchun ^√I₁ ∩ I₂ = ^√I₁ ∩ ^√I₂
    

ekanligini isbotlang.

18. 
    
    Z[x] halqaning ⟨x, 4⟩ ideali primar ideal ekanligini isbotlang.
    
19. 
    
    Z[x] halqaning ⟨x, 6⟩ ideali primar ideal emasligini ko‘rsating.
    
20. 
    
    Bosh ideallar sohasining ixtiyoriy notrivial I idealini I = P₁P₂ . . . P_n ko‘rinishida birlamchi ideallarning ko‘paytmasi shaklida ifodalanishini isbot- lang.
    

5.