O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.4.10-misol. Ixtiyoriy ideali birlamchi ideal bo‘ladigan butunlik sohasi maydon bo‘lishini isbotlang.
Yechish. Aytaylik, R butunlik sohasi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy noldan farqli a ∈ R element uchun a²R idealni qaraymiz. Ushbu ideal birlamchi ideal bo‘lganligi uchun a² ∈ a²R munosabatdan a ∈ a²R kelib chiqadi. Demak, qandaydir, b ∈ R element topilib, a = a²b. Bundan esa, a(1 − ab) = 0 tenglikni hamda a /= 0 bo‘lganligi uchun ab = 1 bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, R butunlik sohasining ixtiyoriy noldan farqli a elementi teskarilanuvchi ekan, ya’ni R maydon.
Q
5.4.11-misol. ⟨x⟩ ideal Z[x] halqaning birlamchi ideali bo‘lib, maksimal bo‘lmasligini ko‘rsating.


Yechish. Aytaylik, Z[x] halqaning
f (x) = a₀ + a₁x + · · · + a_nxⁿ, g(x) = b₀ + b₁x + · · · + b_mx^m
elementlari uchun f (x)g(x) ∈ ⟨x⟩ bo‘lsin. U holda a₀b₀ = 0 bo‘lib, a₀ = 0 yoki b₀ = 0 bo‘ladi. Bundan esa, f (x) ∈ ⟨x⟩ yoki g(x) ∈ ⟨x⟩ kelib chiqadi. Demak, ⟨x⟩ birlamchi ideal.
Endi ushbu idealning maksimal emasligini ko‘rsatamiz. Agar ⟨x, 2⟩ idealni qarasak, ushbu ideal uchun ⟨x⟩ ⊂ ⟨x, 2⟩ ⊂ Z[x] munosabat o‘rinli bo‘lib, bundan
⟨x⟩ idealning maksimal emasligi kelib chiqadi. Q
5.4.12-misol. ⟨x²⟩ ideal Z[x] halqaning primar ideali ekanligini ko‘rsating.