O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.3.5-misol. Xarakteristikasi nolga teng birlik elementli ixtiyoriy halqaning Z bu- tun sonlar halqasiga izomorf qism halqasi mavjud ekanligini isbotlang.
Yechich. Aytaylik, R xarakteristikasi noldan farqli birlik elementli halqa bo‘lsin. T = {n1 | n ∈ Z} to‘plamni qarasak, ushbu to‘plam R halqaning qism halqasi bo‘ladi. Chunki, a, b ∈ T elementlar uchun a = n1 va b = m1 bo‘lib,
a − b = n1 − m1 = (n − m)1, ab = (n1)(m1) = (nm)1.
Ya’ni a − b, ab ∈ T. Endi Z butun sonlar halqasidan T to‘plamga f (n) = n1 kabi aniqlangan f : Z → T akslantirishni qaraymiz. Bu akslantirish gomomorfizm
bo‘lib, u syurektivdir. Bundan tashqari R halqaning xarakteristikasi nolga teng ekanligini hisobga olsak,

f (n) = f (m) ⇒ n1 = m1 ⇒ (n − m)1 = 0 ⇒ n = m
munosabatlardan bu gomomorfizmning inyektivligi kelib chiqadi. Demak, f
izomorfizm. Q
5.3.6-misol. Ixtiyoriy p tub soni uchun elementlari soni p ta bo‘lgan halqalar izomorfizm aniqligida ikkita ekanligini isbotlang.
Yechish. Aytaylik, (R, +, ·) halqa p ta elementdan iborat bo‘lsin. Ma’lumki, p
ta elementli ixtiyoriy gruppa (Z_p, +_p) gruppaga izomorf. Agar (Z_p, +_p) gruppada
Ⓢ₁ va Ⓢ₂ ko‘paytmalarni quyidagicha aniqlasak,
a Ⓢ₁ b = 0, a Ⓢ₂ b = ab
u holda biz o‘zaro izomorf bo‘lmagan (Z_p, +_p, Ⓢ₁) va (Z_p, +_p, Ⓢ₂) halqalarga ega bo‘lamiz. Ya’ni birinchi halqa trivial ko‘paytmaga ega bo‘lgan halqa bo‘lsa, ikkinchi halqa esa, chegirmalar halqasidan iborat bo‘ladi.
Endi R halqani yuqoridagi ikkita halqadan biriga izomorf ekanligini ^{ko‘rsatamiz. (R, +) ∼}= ^{(Zp, +p) bo‘lganligi uchun, (R, +) gruppa additiv siklik} gruppa bo‘ladi. Aytaylik, (R, +, ·) halqa (Z_p, +_p, Ⓢ₁) halqaga izomorf bo‘lmasin.
U holda R halqada aniqlangan ko‘paytma trivial emas. Agar a ∈ R element
(R, +) additiv siklik gruppaning hosil qiluvchi elementi bo‘lsa, u holda R ning ixtiyoriy elementi ka ko‘rinishiga ega bo‘ladi. U holda a² = na tenglik o‘rinli, bu yerda n =/ 0. Endi mn ≡ 1(mod p) shartni qanoatlantiruvchi m soni uchun b = ma elementni qarasak,
b² = m²a² = m²na = ma = b
munosabatga ega bo‘lamiz. Ya’ni R halqada b² = b shartni qanoatlantiruvchi noldan farqli element mavjud. U holda f (n) = nb kabi aniqlangan f : Z_p → R akslantirish (Z_p, +_p, Ⓢ₂) halqadan (R, +, ·) halqaga bo‘lgan izomorfizm bo‘ladi. Chunki,
f (n + m) = (n + m)b = nb + mb = f (n) + f (m),
f (n Ⓢ₂ m) = f (nm) = (nm)b = (nm)b² = (nb) · (mb) = f (m) · f (n).
Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      Z butun sonlar to‘plamida a ⊕ b = a + b − 1 va a Ⓢ b = a + b − ab kabi amal- lar aniqlangan bo‘lsin. (Z, ⊕, Ⓢ) halqa ekanligini ko‘rsating va uni (Z, +, ·) halqaga izomorf ekanligini isbotlang.
      

2. 
   
   R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi barcha gomomorfizmlarni aniqlang:
   
   • 
     
     R = (Z₄, +₄, ·₄) va R^′ = (Z₆, +₆, ·₆).
     
   • 
     
     R = (Z₆, +₆, ·₆) va R^′ = (Z₁₀, +₁₀, ·₁₀).
     
   • 
     
     R = (Z, +, ·) va R^′ = (Z, +, ·).
     
   • 
     
     R = (Z, +, ·) va R^′ = (2Z, +, ·).
     
   • 
     
     R = (Z, +, ·) va R^′ = (Z₆, +₆, ·₆).
     
   • 
     
     R = (R, +, ·) va R^′ = (R, +, ·).
     
3. 
   
   Quyidagi halqalarning izomorf emasligini ko‘rsating:
   
   • 
     
     (R, +, ·) va (Q, +, ·).
     
   • 
     
     (R, +, ·) va (C, +, ·).
     
   • 
     
     (Z, +, ·) va (2Z, +, ·).
     
   • 
     
     (2Z, +, ·) va (3Z, +, ·).
     
   • 
     
     (Q^√2, +, ·) va (Q^√3, +, ·).
     
4. 
   
   R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi emimorfizm mavjudmi?
   
   • 
     
     R = (Z, +, ·) va R^′ = (Z₅, +₅, ·₅).
     
   • 
     
     R = (Z₁₅, +₁₅, ·₁₅) va R^′ = (Z₅, +₅, ·₅).
     
   • 
     
     R = (Z₂₄, +₂₄, ·₂₄) va R^′ = (Z₇, +₇, ·₇).
     
   • 
     
     R = (Z₁₈, +₁₈, ·₁₈) va R^′ = (Z₈, +₈, ·₈).
     
5. 
   
   R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi monomorfizm mavjudmi?
   
   • 
     
     R = (Z₈, +₈, ·₈) va R^′ = (Z, +, ·).
     
   • 
     
     R = (Z₅, +₅, ·₅) va R^′ = (Z₁₅, +₁₅, ·₁₅).
     
   • 
     
     R = (Z₆, +₆, ·₆) va R^′ = (Z₈, +₈, ·₈).
     
   • 
     
     R = (Z₁₂, +₁₂, ·₁₂) va R^′ = (Z₁₈, +₁₈, ·₁₈).
     
6. 
   
   Let T₂(Z) = , | a, b, c ∈ Z, va Z halqalar uchun f ( ) = a
   

0 c

0 c

a b a b
kabi aniqlangan f : T₂(Z) → Z akslantirishning gomomorfizm ekanligini

ko‘rsating va uning yadrosini toping.

7. 
   
   Agar R Bul halqasi {0} va R dan boshqa idealga ega bo‘lmasa, u holda
   

^{R ∼}= ^{Z2 ekanligini isbotlang.}

8. 
   
   Xarakteristikasi n(n > 0) ga teng biri bor ixtiyoriy halqaning Z_n halqaga izomorf qism halqasi mavjud ekanligini isbotlang.
   
9. 
   
   Kompleks sonlar maydonining haqiqiy sonlarni o‘zgarishsiz qoldiruvchi avto- morfizmlarini toping.
   

10. 
    

    (
    A = ^{a b}

    
    

−b a
! | a, b ∈ R) halqa va (C, +, ·) kompleks sonlar maydoni

berilgan bo‘lsin. f (a + ib) = ^{a b}
−b a
! akslantirish izomofizm ekanligini

(
ko‘rsating.

11. 
    
    A = ^{a b}
    

2b a
! | a, b ∈ Q) halqa B = {a +b^√2 | a, b ∈ Q} halqaga izomorf

ekanligini ko‘rsating.

12. 
    
    Quyidagi matritsalar halqalari izomorf bo‘ladimi?
    

^_ x −y z −t ^_




_

A =
_

25. 
    
    x −t z
    
26. 
    

    t x −y t −z y x

    
    

| x, y, z, t ∈ R ,
_

_{B =} u w

−w u
| u, w ∈ C .

Nilpotent, maksimal va birlamchi(prime) ideallar

Ushbu paragrafda ba’zi muhim ideallar haqida to‘xtalib o‘tamiz. Bizga R halqa va uning I ideali berilgan bo‘lsin. Quyidagi qatorni qaraymiz
I¹ = I, I^k+1 = I^k · I, k ≥ 1.