O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.2.5-misol. M₂(R) halqa sodda halqa ekanligini ko‘rsating.

1 0
Yechish. Aytaylik, M₂(R) halqaning qandaydir notrivial J ideali mavjud

bo‘lsin. U holda noldan farqli A = ^{a b}

c d
va C = ^{0 1} matritsalarni qarasak, 0 0
∈ J element mavjud. B = ^{0 0}

d 0

0 0

0 0
AB = ^{b 0} , CD = ^{c d} , CAB = ^{d 0} .

Ma’lumki, J ideal bo‘lganligi uchun AB, CA, CAB ∈ J. Bundan esa, a, b, c, d sonlarining hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli bo‘lganligi uchun har doim a =/ 0 deb olish mumkinligi kelib chiqadi. U holda

1 0 a b

0 0 c d
bo‘lib, bundan esa
a⁻¹ 0 1 0
0 0 ⁼ 0 0 ^{∈ J}

0 0

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

_{1 0 0 1} = _{0 1} , _{0 0 0 1} = _{0 0}

elementlarning ham J idealga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Demak,

0 1

0 0

0 1
E = _{1 0} = _{1 0} + _{0 0} ∈ J

kelib chiqadi. Bu esa J = M₂(R) ekanligini bildiradi. Ya’ni, M₂(R) halqa sodda emas. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      Butun sonlar halqasining quyidagi qism to‘plamlarining qaysilari qism halqa tashkil qilishini aniqlang:
      
      • 
        
        4Z.
        

• 
  
  4Z + 1.
  
• 
  
  5Z + 2.
  
• 
  
  4Z + 2.
  
1. 
   
   Quyidagi halqalarning barcha qism halqalarini aniqlang:
   

Z₁₂, Z₁₅, Z₁₆, Z₂₀, Z₃₀, Z.

3. 
   
   Quyidagi to‘plamlarni M₂(R) matritsalar halqasining qism halqalari ekanli- gini ko‘rsating:
   

• 
  
  A₁
  

₌ a b

(
0 c

! | a, b, c ∈ R) .

• 
  
  A₂
  

₌ a b

(

(

−b a
! | a, b ∈ R) .

• 
  
  A₃
  

₌ a b
0 a
! | a, b ∈ R) .

• 
  
  A₄
  

a

(

3 a

(
⁼ −b√
^b√³ ! | a, b ∈ Q) .

• 
  
  A₅
  

₌ a + b b
−b a
! | a, b ∈ Z) .

4. 
   
   Agar R biri bor halqa bo‘lsa, u holda T = {n1 | n ∈ Z} to‘plam qism halqa bo‘lishini isbotlang.
   
5. 
   
   R halqaning T = {a ∈ R | na = 0} qism to‘plami qism halqa bo‘lishini ko‘rsating.
   
6. 
   
   Agar a ∈ R element halqaning idempotent elementi bo‘lsa, u holda aRa
   

to‘plam qism halqa bo‘lishini isbotlang.

7. 
   
   Z[x] ko‘phadlar halqasining ozod hadi juft butun sonlardan iborat bo‘lgan qism halqasi ideal bo‘lib, bosh ideal bo‘lmasligini ko‘rsating.
   
8. 
   
   Quyidagi halqalarning qism to‘plamlari ideal bo‘lishini ko‘rsating:
   
   • 
     
     R = Z₂₄, I = {0, 8, 16}.
     
   • 
     

     √ √
     R = Z₂₈, I = {0, 7, 14, 21}.

     
     
   • 
     
     R = Z[ 7], I = {a + b 7 | a, b ∈ Z, a − b juft son}.
     

• 
  

  0 c
  

  
  0 c
  R = ( ^{a b} ! | a, b, c ∈ Z) , I = ( ^{0 b} ! | a ∈ Z) .
  
• 
  

  0 c
  

  
  0 0
  R = ( ^{a b} ! | a, b, c ∈ Z) , I = ( ^{0 a} ! | a ∈ Z) .
  

9. 
   
   Yuqoridagi misollardagi halqalarning berilgan ideali bo‘yicha faktor halqa- larini aniqlang.
   

10. 
    

    (
    R = ^{a b}

    
    

0 c
! | a, b, c ∈ Z) halqaning barcha ideallarini aniqlang.

11. Aytaylik,

    
    

^__ ^a11 ^a12 ^a13 _ ^_

R = 0 a a
0 0 a₃₃
^_ 0 b c ^_
^_ ^_^_ 0 x 2y ^_
_

_^ 22 23



_ | a_ij ∈ Z_ ,

I = _ 0 0 2d _ | b, c, d ∈ Z
, J = 0 0 2z | x, y, z ∈ Z


^ 0 0 0
_ _
0 0 0 ^

bo‘lsin. U holda I to‘plam R da ideal, J to‘plam esa I da ideal bo‘lishini, lekin J to‘plam R da ideal bo‘lmasligini ko‘rsating.

12. 
    
    Quyidagi
    

^_ x −y z −t ^_ ^_



_

A =
_

25. 
    
    x −t z
    
26. 
    
    t x −y t −z y x
    

| x, y, z, t ∈ R ,
_

to‘plam (M₄(R), +, ·) halqaning qism halqasi ekanligini isbotlang.

13. 
    
    A = {x + ^√3 5y + ^√3 25z | x, y, z ∈ Q} to‘plam haqiqiy sonlar maydonining
    

qism maydoni ekanligini ko‘rsating.

14. 
    
    Aytaylik, α ∈ R soni ratsional koeffitsiyentli f (x) keltirilmas (ratsional sonlar maydoni ustida keltirilmas) ko‘phadning ildizi bo‘lsin. U holda
    

A = {x₀ + x₁α + x₂α² + · · · + x_n−1αⁿ⁻¹ | x_i ∈ Q}
to‘plam haqiqiy sonlar maydonining qism maydoni ekanligini isbotlang.

15. 
    
    Agar R halqaning A chap ideali va B o‘ng ideallari berilgan bo‘lsa, u holda
    

AB to‘plam R halqaning ikki yoqlama ideali bo‘lishini ko‘rsating.

16. 
    
    Kommutativ halqaning nilpotent elementlari to‘plami ideal bo‘lishini isbot- lang.
    
17. 
    
    R halqaning I₁ va I₂ ideallari birlashmasi I₁ ∪ I₂ ham ideal bo‘lishi uchun
    

I₁ ⊆ I₂ yoki I₂ ⊆ I₁ bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

18. 
    
    R halqaning I va J ideallari uchun I +J ham ideal bo‘lishini va I +J = ⟨I ∪J⟩
    

ekanligini ko‘rsating.

19. 
    
    Quyidagi halqalarning berilgan I ideal bo‘yicha annulyatorlarini toping:
    
    • 
      
      R = Z₁₂, I = {0, 4, 8}.
      
    • 
      
      R = Z₁₅, I = {0, 5, 10}.
      
    • 
      
      R = Z₂₀, I = {0, 2, 4, . . . , 18}.
      
    • 
      
      R = Z[i] = {a + ib | a, b ∈ Z}, I = {a + bi | a, b ∈ 2Z}.
      
20. 
    
    Regulyar halqaning ixtiyoriy ideali regulyar ekanligini ko‘rsating.
    
21. 
    
    Z[i]/⟨2⟩ faktor halqani aniqlang va uni maydon emasligini ko‘rsating.
    
22. 
    
    Z[i]/⟨3⟩ faktor halqa maydon bo‘lishini isbotlang.
    
23. 
    
    Z[i]/⟨n⟩ faktor halqa maydon bo‘lishi uchun n tub son bo‘lib, uning ikkita butun sonlar kvadratlari yig‘indisi shaklida ifodalanmasligi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    

3. Halqalarning gomomorfizmi va izomorfizmi

Ushbu mavzuda biz halqalar uchun gomomorfizm va izomorfizmlar tushuncha- larini kiritib, izomorfizm va moslik teoremalarini keltiramiz.
5.3.1-ta’rif. Bizga (R, +, ·) va (R^′, +^′, ·^′) halqalar va f : R → R^′ akslantirish berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun
f (a + b) = f (a) +^′ f (b),
f (a · b) = f (a) ·^′ f (b)
tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda f akslantirish R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi
gomomorfizm deb ataladi.
5.3.2-ta’rif. Bizga R va R^′ halqalar hamda f : R → R^′ gomomorfizm berilgan bo‘lsin.

• 
  
  Agar f syurektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish epimorfizm deyiladi;
  

• 
  
  Agar f inyektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish monomorfizm deyiladi;
  
• 
  
  Agar f biyektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish izomorfizm deyiladi;
  
• 
  
  R halqani o‘zini o‘ziga akslantiruvchi izomorfizm esa avtomorfizm deb ata- ladi.
  

Agar R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi izomorfizm mavjud bo‘lsa, u holda ^{ushbu halqalar izomorf deyiladi va R ∼}= ^{R′ kabi belgilanadi. R halqani o‘zini}

o‘ziga o‘tkazuvchi barcha avtomorfizmlar to‘plami esa Aut(R) kabi belgilanadi. Halqalarning gomomorfizmi uchun quyidagi xossalar o‘rinli bo‘lib, ushbu xossalar gruppaning gomomorfizmi xossalari kabi isbotlanadi.
5.3.1-teorema. Bizga R va R^′ halqalar, hamda f : R → R^′ gomomorfizm berilgan bo‘lsin. U holda quyidagilar o‘rinli:
1) f (0) = 0^′.
2) f (−a) = −f (a).

3. 
   
   Agar R halqaning A qism halqasi berilgan bo‘lsa, u holda f (A) = {f (x) | x ∈
   

A} to‘plam R^′ halqaning qism halqasi bo‘ladi.

3. 
   
   Agar R^′ halqaning B qism halqasi berilgan bo‘lsa, u holda f ⁻¹(B) = {x ∈
   

R | f (x) ∈ B} to‘plam R halqaning qism halqasi bo‘ladi.

3. 
   
   Agar R kommutativ bo‘lsa, u holda f (R) ham kommutativ bo‘ladi.
   
4. 
   
   Agar R biri bor halqa bo‘lib, f epimorfizm bo‘lsa, u holda R^′ ham birlik ele- mentga ega va f (1) = 1^′ bo‘ladi.
   
5. 
   

   ∈
   Agar R biri bor halqa bo‘lib, f epimorfizm va a R element teskarilanuvchi bo‘lsa, u holda f (a) ham teskarilanuvchi, hamda f (a)⁻¹ = f (a⁻¹).

   
   

R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi f : R → R^′ gomomorfizmning yadrosi deb quyidagi to‘plamga aytiladi
Kerf = {a ∈ G | f (a) = 0^′}.
Yuqoridagi teoremaga ko‘ra ixtiyoriy gomomorfizmining yadrosi bo‘sh emas, chunki 0 ∈ Kerf. Bundan tashqari halqa gomomorfizmining yadrosi ikki yoqlama ideal bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar a, b ∈ Kerf va x ∈ R bo‘lsa, u holda f (a) = f (b) = 0 ekanligidan f (a − b) = f (a) − f (b) = 0, f (a · x) = f (a) · f (x) = 0 va f (x · a) = f (x) · f (a) = 0 bo‘lishini hosil qilamiz. Bu esa a − b, a · x, x · a ∈ Kerf ekanligini, ya’ni halqa gomomorfizmi yadrosining ideal bo‘lishini anglatadi.


5.3.1-misol. • R halqani R^′ halqaga o‘tkazuvchi f (a) = 0^′ kabi aniqlangan
f : R → R^′ akslantirish gomomorfizm bo‘lib, Kerf = R bo‘ladi.

• 
  
  R halqani o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi ayniy akslantirsh gomomorfizm bo‘lib, Kerf = {0} bo‘ladi. Bundan tashqari ushbu ayniy akslantirish avtomorfizm bo‘ladi.
  

Endi (Z, +, ·) butun sonlar halqasini (Z_n, +_n, ·_n) chegirmalar halqasiga o‘tkazuvchi gomomorfizmga misol keltiramiz.
5.3.2-misol. Z halqani Z_n halqaga o‘tkazuvchi f (a) = a kabi aniqlangan aks- lantirish gomomorfizm bo‘lib, uning yadrosi uchun Kerf = nZ munosabat o‘rinli. Ya’ni ushbu akslantirishning yadrosi n soniga karrali bo‘lgan butun sonlar to‘plamidan iborat bo‘ladi.

→
Quyidagi misolda biri bor R va R^′ halqalar uchun f : R R^′ gomo- morfizm syurektiv bo‘lmasa, u holda f (1) = 1^′ tenglik har doim ham o‘rinli bo‘lavermasligini ko‘rsatamiz. Buning uchun Z × Z to‘plamda quyidagi amallarni aniqlaymiz

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) · (c, d) = (a · c, b · d).

U holda Z × Z to‘plam ushbu qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qilib, bu halqaning nol elementi (0, 0), birlik elementi esa (1, 1) bo‘ladi.
5.3.3-misol. Z halqadan Z ⊕ Z halqaga bo‘lgan f : Z → Z ⊕ Z akslantirishni quyidagicha aniqlaylik
f (x) = (x, 0), ∀x ∈ Z.
Ushbu akslantirish gomomorfizm bo‘lib, u inyektiv, lekin syurektiv emas. Ya’ni bu akslantirish monomorfizm, lekin epimorfizm emas. Z halqaning birlik elementi uchun f (1) = (1, 0) bo‘lib, bu element Z ⊕ Z halqaning birlik elementi emas. Ya’ni birinchi halqa birlik elementining obrazi ikkinchi halqaning birlik elementi bo‘lmaydi.
Biz avvalgi mavzuda (Z[√3], +, ·) va (Z[√5], +, ·) halqalarni qarab o‘tgan edik.
Bir qarashda ushbu halqalar izomorf halgalarga o‘xshab ko‘rinadi. Lekin ular izomorf halqalar bo‘lmaydi.