O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.2.1-misol. Juft o‘rin almashtirishlar to‘plami superpozitsiya amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi.
Haqiqatdan ham, e = (1 2) ◦ (1 2) tenglik o‘rinli ekanligidan e ∈ A_n, ya’ni A_n /= ∅. Ma’lumki, π₁ va π₂ juft o‘rin almashtirishlar uchun π₁ ◦ π₂ ham juft o‘rin almashtirish bo‘lib, bundan esa ◦ amali A_n to‘plamda binar amal ekanligi kelib chiqadi. Agar π ∈ A_n bo‘lsa, u holda π ◦ π⁻¹ = e juft ekanligidan, π⁻¹ ∈ A_n. Demak, (A_n, ◦) gruppa bo‘ladi. Ushbu gruppaga ishora almashishlar gruppasi deb ataladi.
Quyidagi teoremada ishora almashishlar gruppasining ixtiyoriy elementini uzunligi 3 ga teng bo‘lgan sikllar ko‘paytmasi shaklida ifodalash mumkinligini ko‘rsatamiz.

1.2.2-teorema. A_n (n ≥ 3) gruppaning ixtiyoriy elementini uzunligi 3 ga teng bo‘lgan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozish mumkin.
Isbot. Aytaylik, π ∈ A_n o‘rin almashtirish berilgan bo‘lib, uning transpo- zitsiyalar ko‘paymasi ko‘rinishidagi ifodasi quyidagicha bo‘lsin
π = σ₁ ◦ σ₂ ◦ · · · ◦ σ_2r.
Shuningdek, ixtiyoriy (a, b) transpozitsiyani (a b) = (1 a) ◦ (1 b) ◦ (1 a) ko‘rinishida yozish mumkin bo‘lganligi uchun o‘rin almashtirish
π = (1 i₁) ◦ (1 i₂) ◦ · · · ◦ (1 i_2m)
shaklga keladi.

Nihoyat, (1 i₁) ◦ (1 i₂) = (1 i₂ i₁) tenglikdan foydalanib, π o‘rin almashtirishni uzunligi 3 ga teng bo‘lgan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishda yozish mumkinligini hosil qilamiz.

1.2.2-misol. Quyidagi π ∈ S₇ o‘rin almashtirishni sikllar ko‘paytmasi shaklida ifodalang
_{π =} 1 2 3 4 5 6 7 _.
6 3 5 2 4 7 1
Yechish. Dastlab,

π(1) = 6, π²(1) = π(6) = 7, π³(1) = π(7) = 1

tengliklardan foydalanib, σ₁ = (1 π(1) π²(1)) = (1 6 7) siklga ega bo‘lamiz. Endi, I₇ to‘plamdan σ₁ siklda mavjud bo‘lmagan elementni, masalan 2 sonini olamiz. U holda,
π(2) = 3, π²(2) = π(3) = 5, π³(2) = π(5) = 4, π⁴(2) = π(4) = 2,
ya’ni σ₂ = (2 3 5 4). Demak, π = σ₁ ◦ σ₂. Q