O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.5.3-ta’rif. Agar K ⊂ F kengaytmada shunday
K = L₀ ⊂ L₁ ⊂ · · · ⊂ L_i ⊂ L_i+1 ⊂ · · · ⊂ L_s = F (6.5)
kengaytmalar ketma-ketligi topilib, har bir L_i ⊂ L_i+1 kengaytma sodda radikal kengaytma bo‘lsa, u holda K ⊂ F kengaytma radikal kengaytma deb ataladi.
Radikal kengaytmadagi kengaytmalar ketma-ketligi esa, radikal qator deyi- ladi. Ta’kidlash joizki, radikal kengaytma bir nechta radikal qatorlarga ega bo‘lishi mumkin. Bundan tashqari, radikal qatorda L_i ⊂ L_i+1 kengaytmalar normal bo‘lganligi bilan K ⊂ F kengaytma normal bo‘lmasligi mumkin. Bir vaqtning o‘zida ham normal ham radikal bo‘lgan kengaytmaga normal radikal ken- gaytma deb ataladi.
6.5.3-teorema. Ixtiyoriy K ⊂ F radikal kengaytma uchun shunday F (K ⊂ F ⊂ F) maydon mavjudki, K ⊂ F kengaytma normal radikal kengaytma bo‘ladi. Ya’ni ixtiyoriy radikal kengaytma qandaydir normal radikal kengaytmaning ichida yotadi.


Isbot. Isbotni radikal qatorning uzunligi bo‘yicha induksiya metodini qo‘llab amalga oshiramiz. Agar s = 1 bo‘lsa, u holda K = L₀ ⊂ L₁ = F bo‘lib, K ⊂ F kengaytma normal radikal bo‘ladi, ya’ni F = F deb olish yetarli.
Tasdiqni usunligi s ga teng bo‘lgan radikal qatorlar uchun o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilib, s + 1 uchun ko‘rsatamiz. Agar
K = L₀ ⊂ L₁ ⊂ · · · ⊂ L_s ⊂ L_s+1 = F
qatorni qarasak, induksiya faraziga ko‘ra K ⊂ L_s kengaytmani o‘z ichiga olivchi
L_s (K ⊂ L_s ⊂ L_s) normal radikal kengaytma mavjud, ya’ni qandaydir
K = P₀ ⊂ P₁ ⊂ . . . P_t−1 ⊂ P_t = L_s (6.6)
radikal qator mavjud.

Ikkinchi tomondan esa, L_s ⊂ F kengaytma sodda radikal kengaytma bo‘lganligi uchun F = L_s(ζ, θ), bu yerda ζ – birning n-darajali boshlang‘ich ildizi, θ esa xⁿ − c, c ∈ L_s tenglamaning birorta fiksirlangan ildizi.
Aytaylik, ushbu c ∈ L_s elementning K maydon ustidagi minimal ko‘phadi
g(x) bo‘lsin. K ⊂ L_s kengaytma normal bo‘lib, c ∈ L_s bo‘lganligi uchun, g(x) ko‘phadning barcha ildizlari L_s maydonda yotadi. Bundan esa, ζ boshlang‘ich ildizning ham L_s maydonda yotishi kelib chiqadi. Ushbu g(x) ko‘phadning ildizlari β₁ = c, β₂, . . . , β_r uchun L_s maydonda quyidagi tenglamalarni qaraymiz
xⁿ − β_i = 0, 1 ≤ i ≤ r.
Bu r ta tenglamaning har biridan bittadan α₁ = θ, α₂, . . . , α_r ildizlarni olib, L_s maydon va ushbu α_i ildizlarni o‘z ichiga oluvchi L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) maydonni qarasak, ζ, θ ∈ L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) ekanligidan F ⊂ L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) kelib chiqadi.
Endi quyidagi
L_s ⊂ L_s(α₁) ⊂ L_s(α₁, α₂) ⊂ · · · ⊂ L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) (6.7)
qatorni qarasak, ushbu qator radikal qator bo‘ladi. Bundan esa, (6.6) va (6.7) qatorlarni birlashtirish natijasida K maydondan boshlanib, L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) maydonda tugovchi radikal qatorning mavjudligini keltirib chiqazamiz. Ya’ni K ⊂ L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) kengaytma radikal kengaytma bo‘ladi.
Endi ushbu kengaytmaning normal ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun
G(x) = g(xⁿ) = (xⁿ − β₁)(xⁿ − β₂) . . . (xⁿ − β_r)
ko‘phadni qarasak, α₁, α₂, . . . , α_r elementlar G(x) ko‘phadning ildizlari bo‘ladi. Demak, K maydon ustidagi G(x) ko‘phadning yoyilish maydoni L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) maydonni o‘z ichiga oladi. Ikkinchi tomondan esa, G(x) ko‘phadning qolgan ildiz- larini α₁, α₂, . . . , α_r elementlarga birning n-darajali boshlang‘ich ildizi ζ ning dara- jalarini ko‘paytirish orqali hosil qilinadi. Bu esa G(x) ko‘phadning barcha ildizlari

L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) maydonda yotishini, ya’ni L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) maydon K maydon ustidagi G(x) ko‘phadning yoyilish maydoni bilan ustma-ust tushishini anglatadi. Demak, K ⊂ L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) kengaytma normal radikal kengaytma bo‘ladi. F = L_s(α₁, α₂, . . . , α_r) deb olsak, teorema isbotini hosil qilamiz.

Endi xarakteristikasi nolga teng bo‘lgan K maydonda
xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + · · · + a_n−1x + a_n = 0 (6.8)
tenglamani qaraymiz.